Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63246 / 38972
↖ ↑ ↗
← N 58.728302°
W  6.289673°		 ← 158.55 m → N 58.728302°
W  6.286926°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 58.726876°
W  6.289673°		 ← 158.55 m →
25 142 m²		 N 58.726876°
W  6.286926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482532501220703 y=0.297336578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482532501220703 × 217)
    floor (0.482532501220703 × 131072)
    floor (63246.5)     		tx = 63246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297336578369141 × 217)
    floor (0.297336578369141 × 131072)
    floor (38972.5)     		ty = 38972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63246 / 38972 ti = "17/63246/38972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63246/38972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63246 ÷ 217
    63246 ÷ 131072     		x = 0.482528686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38972 ÷ 217
    38972 ÷ 131072     		y = 0.297332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482528686523438 × 2 - 1) × π
    -0.034942626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297332763671875 × 2 - 1) × π
    0.40533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27339580150717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10977550} λ = -0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27339580150717))-π/2
    2×atan(3.57296506504145)-π/2
    2×1.29789928270393-π/2
    2.59579856540787-1.57079632675     		φ = 1.02500224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02500224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.728302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63246 KachelY 38972 -0.10977550 1.02500224 -6.289673 58.728302
    Oben rechts KachelX + 1 63247 KachelY 38972 -0.10972756 1.02500224 -6.286926 58.728302
    Unten links KachelX 63246 KachelY + 1 38973 -0.10977550 1.02497735 -6.289673 58.726876
    Unten rechts KachelX + 1 63247 KachelY + 1 38973 -0.10972756 1.02497735 -6.286926 58.726876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02500224-1.02497735) × R
    2.48900000001662e-05 × 6371000     		dl = 158.574190001059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02500224-1.02497735) × R
    2.48900000001662e-05 × 6371000     		dr = 158.574190001059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10977550--0.10972756) × cos(1.02500224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519096972272283 × 6371000     		do = 158.545576888009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10977550--0.10972756) × cos(1.02497735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519118245976605 × 6371000     		du = 158.552074424894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02500224)-sin(1.02497735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519096972272283-0.519118245976605)×R²
    abs(-0.10972756--0.10977550)×2.12737043221445e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12737043221445e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12737043221445e-05×40589641000000     		ar = 25141.7516053926m²