Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63246 / 38969
↖ ↑ ↗
← N 58.732579°
W  6.289673°		 ← 158.53 m → N 58.732579°
W  6.286926°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 58.731153°
W  6.289673°		 ← 158.53 m →
25 139 m²		 N 58.731153°
W  6.286926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482532501220703 y=0.297313690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482532501220703 × 217)
    floor (0.482532501220703 × 131072)
    floor (63246.5)     		tx = 63246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297313690185547 × 217)
    floor (0.297313690185547 × 131072)
    floor (38969.5)     		ty = 38969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63246 / 38969 ti = "17/63246/38969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63246/38969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63246 ÷ 217
    63246 ÷ 131072     		x = 0.482528686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38969 ÷ 217
    38969 ÷ 131072     		y = 0.297309875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482528686523438 × 2 - 1) × π
    -0.034942626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297309875488281 × 2 - 1) × π
    0.405380249023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.27353961220603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10977550} λ = -0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27353961220603))-π/2
    2×atan(3.57347893259339)-π/2
    2×1.29793660625926-π/2
    2.59587321251853-1.57079632675     		φ = 1.02507689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02507689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.732579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63246 KachelY 38969 -0.10977550 1.02507689 -6.289673 58.732579
    Oben rechts KachelX + 1 63247 KachelY 38969 -0.10972756 1.02507689 -6.286926 58.732579
    Unten links KachelX 63246 KachelY + 1 38970 -0.10977550 1.02505200 -6.289673 58.731153
    Unten rechts KachelX + 1 63247 KachelY + 1 38970 -0.10972756 1.02505200 -6.286926 58.731153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02507689-1.02505200) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02507689-1.02505200) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10977550--0.10972756) × cos(1.02507689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519033166324931 × 6371000     		do = 158.526088909323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10977550--0.10972756) × cos(1.02505200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519054440993715 × 6371000     		du = 158.53258674078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02507689)-sin(1.02505200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519033166324931-0.519054440993715)×R²
    abs(-0.10972756--0.10977550)×2.12746687845433e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12746687845433e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12746687845433e-05×40589641000000     		ar = 25138.6613379911m²