Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63243 / 76907
↖ ↑ ↗
← S 29.790601°
W  6.297913°		 ← 265.06 m → S 29.790601°
W  6.295166°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 29.792984°
W  6.297913°		 ← 265.06 m →
70 250 m²		 S 29.792984°
W  6.295166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482509613037109 y=0.586757659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482509613037109 × 217)
    floor (0.482509613037109 × 131072)
    floor (63243.5)     		tx = 63243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586757659912109 × 217)
    floor (0.586757659912109 × 131072)
    floor (76907.5)     		ty = 76907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63243 / 76907 ti = "17/63243/76907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63243/76907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63243 ÷ 217
    63243 ÷ 131072     		x = 0.482505798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76907 ÷ 217
    76907 ÷ 131072     		y = 0.586753845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482505798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0349884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10991931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586753845214844 × 2 - 1) × π
    -0.173507690429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.545090485579659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10991931} λ = -0.10991931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545090485579659))-π/2
    2×atan(0.579789318393667)-π/2
    2×0.525426130523869-π/2
    1.05085226104774-1.57079632675     		φ = -0.51994407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10991931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.297913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51994407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.790601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63243 KachelY 76907 -0.10991931 -0.51994407 -6.297913 -29.790601
    Oben rechts KachelX + 1 63244 KachelY 76907 -0.10987137 -0.51994407 -6.295166 -29.790601
    Unten links KachelX 63243 KachelY + 1 76908 -0.10991931 -0.51998567 -6.297913 -29.792984
    Unten rechts KachelX + 1 63244 KachelY + 1 76908 -0.10987137 -0.51998567 -6.295166 -29.792984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51994407--0.51998567) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51994407--0.51998567) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10991931--0.10987137) × cos(-0.51994407) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867846968826404 × 6371000     		do = 265.062802660618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10991931--0.10987137) × cos(-0.51998567) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867826299880922 × 6371000     		du = 265.056489832649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51994407)-sin(-0.51998567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867846968826404-0.867826299880922)×R²
    abs(-0.10987137--0.10991931)×2.06689454821385e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.06689454821385e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.06689454821385e-05×40589641000000     		ar = 70249.7122695412m²