Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63241 / 76888
↖ ↑ ↗
← S 29.745302°
W  6.303405°		 ← 265.13 m → S 29.745302°
W  6.300659°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.747686°
W  6.303405°		 ← 265.12 m →
70 301 m²		 S 29.747686°
W  6.300659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482494354248047 y=0.586612701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482494354248047 × 217)
    floor (0.482494354248047 × 131072)
    floor (63241.5)     		tx = 63241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586612701416016 × 217)
    floor (0.586612701416016 × 131072)
    floor (76888.5)     		ty = 76888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63241 / 76888 ti = "17/63241/76888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63241/76888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63241 ÷ 217
    63241 ÷ 131072     		x = 0.482490539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76888 ÷ 217
    76888 ÷ 131072     		y = 0.58660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482490539550781 × 2 - 1) × π
    -0.0350189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11001518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544179684486877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11001518} λ = -0.11001518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544179684486877))-π/2
    2×atan(0.580317631696087)-π/2
    2×0.525821437901916-π/2
    1.05164287580383-1.57079632675     		φ = -0.51915345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11001518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.303405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51915345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.745302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63241 KachelY 76888 -0.11001518 -0.51915345 -6.303405 -29.745302
    Oben rechts KachelX + 1 63242 KachelY 76888 -0.10996725 -0.51915345 -6.300659 -29.745302
    Unten links KachelX 63241 KachelY + 1 76889 -0.11001518 -0.51919507 -6.303405 -29.747686
    Unten rechts KachelX + 1 63242 KachelY + 1 76889 -0.10996725 -0.51919507 -6.300659 -29.747686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51915345--0.51919507) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51915345--0.51919507) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11001518--0.10996725) × cos(-0.51915345) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868239502548156 × 6371000     		do = 265.127377024304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11001518--0.10996725) × cos(-0.51919507) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868218852228468 × 6371000     		du = 265.121071200764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51915345)-sin(-0.51919507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868239502548156-0.868218852228468)×R²
    abs(-0.10996725--0.11001518)×2.06503196874541e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06503196874541e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06503196874541e-05×40589641000000     		ar = 70300.6097024592m²