Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6324 / 6100
↖ ↑ ↗
← S 65.730626°
E 97.910156°		 ← 2 008.48 m → S 65.730626°
E 97.954102°		 →
↑
2 007.82 m
↓
↑
2 007.82 m
↓
S 65.748683°
E 97.910156°		 ← 2 007.08 m →
4 031 261 m²		 S 65.748683°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77203369140625 y=0.74468994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77203369140625 × 213)
    floor (0.77203369140625 × 8192)
    floor (6324.5)     		tx = 6324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74468994140625 × 213)
    floor (0.74468994140625 × 8192)
    floor (6100.5)     		ty = 6100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6324 / 6100 ti = "13/6324/6100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6324/6100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6324 ÷ 213
    6324 ÷ 8192     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6100 ÷ 213
    6100 ÷ 8192     		y = 0.74462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53704874941748))-π/2
    2×atan(0.215014728313403)-π/2
    2×0.211790237554783-π/2
    0.423580475109565-1.57079632675     		φ = -1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6324 KachelY 6100 1.70885460 -1.14721585 97.910156 -65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 6325 KachelY 6100 1.70962159 -1.14721585 97.954102 -65.730626
    Unten links KachelX 6324 KachelY + 1 6101 1.70885460 -1.14753100 97.910156 -65.748683
    Unten rechts KachelX + 1 6325 KachelY + 1 6101 1.70962159 -1.14753100 97.954102 -65.748683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14721585--1.14753100) × R
    0.000315150000000042 × 6371000     		dl = 2007.82065000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14721585--1.14753100) × R
    0.000315150000000042 × 6371000     		dr = 2007.82065000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.70962159) × cos(-1.14721585) × R
    0.000766990000000023 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 2008.48129385667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.70962159) × cos(-1.14753100) × R
    0.000766990000000023 × 0.410739807701882 × 6371000     		du = 2007.0773142712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14721585)-sin(-1.14753100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.410739807701882)×R²
    abs(1.70962159-1.70885460)×0.000287318431061723×R²
    0.000766990000000023×0.000287318431061723×6371000²
    0.000766990000000023×0.000287318431061723×40589641000000     		ar = 4031260.78071035m²