Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6324 / 6061
↖ ↑ ↗
← S 65.016506°
E 97.910156°		 ← 2 063.85 m → S 65.016506°
E 97.954102°		 →
↑
2 063.12 m
↓
↑
2 063.12 m
↓
S 65.035060°
E 97.910156°		 ← 2 062.41 m →
4 256 483 m²		 S 65.035060°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77203369140625 y=0.73992919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77203369140625 × 213)
    floor (0.77203369140625 × 8192)
    floor (6324.5)     		tx = 6324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73992919921875 × 213)
    floor (0.73992919921875 × 8192)
    floor (6061.5)     		ty = 6061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6324 / 6061 ti = "13/6324/6061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6324/6061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6324 ÷ 213
    6324 ÷ 8192     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6061 ÷ 213
    6061 ÷ 8192     		y = 0.7398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50713612405457))-π/2
    2×atan(0.221543543524923)-π/2
    2×0.218022112124818-π/2
    0.436044224249635-1.57079632675     		φ = -1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6324 KachelY 6061 1.70885460 -1.13475210 97.910156 -65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 6325 KachelY 6061 1.70962159 -1.13475210 97.954102 -65.016506
    Unten links KachelX 6324 KachelY + 1 6062 1.70885460 -1.13507593 97.910156 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 6325 KachelY + 1 6062 1.70962159 -1.13507593 97.954102 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13475210--1.13507593) × R
    0.000323829999999914 × 6371000     		dl = 2063.12092999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13475210--1.13507593) × R
    0.000323829999999914 × 6371000     		dr = 2063.12092999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.70962159) × cos(-1.13475210) × R
    0.000766990000000023 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 2063.84537670873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.70962159) × cos(-1.13507593) × R
    0.000766990000000023 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 2062.410940714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13475210)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422063598232002)×R²
    abs(1.70962159-1.70885460)×0.000293551205252318×R²
    0.000766990000000023×0.000293551205252318×6371000²
    0.000766990000000023×0.000293551205252318×40589641000000     		ar = 4256482.92270226m²