Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63236 / 76790
↖ ↑ ↗
← S 29.511330°
W  6.317139°		 ← 265.80 m → S 29.511330°
W  6.314392°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.513720°
W  6.317139°		 ← 265.79 m →
70 631 m²		 S 29.513720°
W  6.314392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482456207275391 y=0.585865020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482456207275391 × 217)
    floor (0.482456207275391 × 131072)
    floor (63236.5)     		tx = 63236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585865020751953 × 217)
    floor (0.585865020751953 × 131072)
    floor (76790.5)     		ty = 76790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63236 / 76790 ti = "17/63236/76790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63236/76790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63236 ÷ 217
    63236 ÷ 131072     		x = 0.482452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76790 ÷ 217
    76790 ÷ 131072     		y = 0.585861206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585861206054688 × 2 - 1) × π
    -0.171722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.539481868324112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11025487} λ = -0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539481868324112))-π/2
    2×atan(0.583050270938549)-π/2
    2×0.527863225594551-π/2
    1.0557264511891-1.57079632675     		φ = -0.51506988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51506988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.511330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63236 KachelY 76790 -0.11025487 -0.51506988 -6.317139 -29.511330
    Oben rechts KachelX + 1 63237 KachelY 76790 -0.11020693 -0.51506988 -6.314392 -29.511330
    Unten links KachelX 63236 KachelY + 1 76791 -0.11025487 -0.51511159 -6.317139 -29.513720
    Unten rechts KachelX + 1 63237 KachelY + 1 76791 -0.11020693 -0.51511159 -6.314392 -29.513720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51506988--0.51511159) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51506988--0.51511159) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11025487--0.11020693) × cos(-0.51506988) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.87025830183793 × 6371000     		do = 265.79928583005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11025487--0.11020693) × cos(-0.51511159) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.87023775491579 × 6371000     		du = 265.79301027115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51506988)-sin(-0.51511159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87025830183793-0.87023775491579)×R²
    abs(-0.11020693--0.11025487)×2.05469221394861e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.05469221394861e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.05469221394861e-05×40589641000000     		ar = 70631.1825926866m²