Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63236 / 75000
↖ ↑ ↗
← S 25.145285°
W  6.317139°		 ← 276.48 m → S 25.145285°
W  6.314392°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
S 25.147771°
W  6.317139°		 ← 276.48 m →
76 429 m²		 S 25.147771°
W  6.314392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482456207275391 y=0.572208404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482456207275391 × 217)
    floor (0.482456207275391 × 131072)
    floor (63236.5)     		tx = 63236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572208404541016 × 217)
    floor (0.572208404541016 × 131072)
    floor (75000.5)     		ty = 75000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63236 / 75000 ti = "17/63236/75000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63236/75000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63236 ÷ 217
    63236 ÷ 131072     		x = 0.482452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75000 ÷ 217
    75000 ÷ 131072     		y = 0.57220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.453674818004211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11025487} λ = -0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453674818004211))-π/2
    2×atan(0.635289284298137)-π/2
    2×0.56596415949956-π/2
    1.13192831899912-1.57079632675     		φ = -0.43886801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43886801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.145285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63236 KachelY 75000 -0.11025487 -0.43886801 -6.317139 -25.145285
    Oben rechts KachelX + 1 63237 KachelY 75000 -0.11020693 -0.43886801 -6.314392 -25.145285
    Unten links KachelX 63236 KachelY + 1 75001 -0.11025487 -0.43891140 -6.317139 -25.147771
    Unten rechts KachelX + 1 63237 KachelY + 1 75001 -0.11020693 -0.43891140 -6.314392 -25.147771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43886801--0.43891140) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43886801--0.43891140) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11025487--0.11020693) × cos(-0.43886801) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.905233242657106 × 6371000     		do = 276.481533011205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11025487--0.11020693) × cos(-0.43891140) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.905214804742146 × 6371000     		du = 276.475901597384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43886801)-sin(-0.43891140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905233242657106-0.905214804742146)×R²
    abs(-0.11020693--0.11025487)×1.84379149603675e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.84379149603675e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.84379149603675e-05×40589641000000     		ar = 76429.1379578171m²