Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63235 / 77468
↖ ↑ ↗
← S 31.118794°
W  6.319885°		 ← 261.47 m → S 31.118794°
W  6.317139°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
S 31.121146°
W  6.319885°		 ← 261.47 m →
68 366 m²		 S 31.121146°
W  6.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482448577880859 y=0.591037750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482448577880859 × 217)
    floor (0.482448577880859 × 131072)
    floor (63235.5)     		tx = 63235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591037750244141 × 217)
    floor (0.591037750244141 × 131072)
    floor (77468.5)     		ty = 77468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63235 / 77468 ti = "17/63235/77468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63235/77468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63235 ÷ 217
    63235 ÷ 131072     		x = 0.482444763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77468 ÷ 217
    77468 ÷ 131072     		y = 0.591033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482444763183594 × 2 - 1) × π
    -0.0351104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11030281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.18206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.57198308626651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11030281} λ = -0.11030281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57198308626651))-π/2
    2×atan(0.564405064235465)-π/2
    2×0.513835452673858-π/2
    1.02767090534772-1.57079632675     		φ = -0.54312542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11030281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.319885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54312542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.118794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63235 KachelY 77468 -0.11030281 -0.54312542 -6.319885 -31.118794
    Oben rechts KachelX + 1 63236 KachelY 77468 -0.11025487 -0.54312542 -6.317139 -31.118794
    Unten links KachelX 63235 KachelY + 1 77469 -0.11030281 -0.54316646 -6.319885 -31.121146
    Unten rechts KachelX + 1 63236 KachelY + 1 77469 -0.11025487 -0.54316646 -6.317139 -31.121146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54312542--0.54316646) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dl = 261.465840000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54312542--0.54316646) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dr = 261.465840000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11030281--0.11025487) × cos(-0.54312542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856097603915797 × 6371000     		do = 261.474244188189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11030281--0.11025487) × cos(-0.54316646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856076393141063 × 6371000     		du = 261.46776587162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54312542)-sin(-0.54316646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856097603915797-0.856076393141063)×R²
    abs(-0.11025487--0.11030281)×2.12107747339374e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12107747339374e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12107747339374e-05×40589641000000     		ar = 68365.73597536m²