Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63234 / 76896
↖ ↑ ↗
← S 29.764377°
W  6.322632°		 ← 265.08 m → S 29.764377°
W  6.319885°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.766762°
W  6.322632°		 ← 265.07 m →
70 287 m²		 S 29.766762°
W  6.319885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482440948486328 y=0.586673736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482440948486328 × 217)
    floor (0.482440948486328 × 131072)
    floor (63234.5)     		tx = 63234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586673736572266 × 217)
    floor (0.586673736572266 × 131072)
    floor (76896.5)     		ty = 76896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63234 / 76896 ti = "17/63234/76896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63234/76896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63234 ÷ 217
    63234 ÷ 131072     		x = 0.482437133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76896 ÷ 217
    76896 ÷ 131072     		y = 0.586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482437133789062 × 2 - 1) × π
    -0.035125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11035074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11035074} λ = -0.11035074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544563179683838))-π/2
    2×atan(0.580095125339407)-π/2
    2×0.525654970902852-π/2
    1.0513099418057-1.57079632675     		φ = -0.51948638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11035074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51948638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.764377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63234 KachelY 76896 -0.11035074 -0.51948638 -6.322632 -29.764377
    Oben rechts KachelX + 1 63235 KachelY 76896 -0.11030281 -0.51948638 -6.319885 -29.764377
    Unten links KachelX 63234 KachelY + 1 76897 -0.11035074 -0.51952800 -6.322632 -29.766762
    Unten rechts KachelX + 1 63235 KachelY + 1 76897 -0.11030281 -0.51952800 -6.319885 -29.766762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51948638--0.51952800) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51948638--0.51952800) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11035074--0.11030281) × cos(-0.51948638) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868074272775093 × 6371000     		do = 265.076922125385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11035074--0.11030281) × cos(-0.51952800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868053610425892 × 6371000     		du = 265.070612628488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51948638)-sin(-0.51952800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868074272775093-0.868053610425892)×R²
    abs(-0.11030281--0.11035074)×2.06623492009506e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06623492009506e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06623492009506e-05×40589641000000     		ar = 70287.2305429809m²