Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63234 / 75002
↖ ↑ ↗
← S 25.150257°
W  6.322632°		 ← 276.41 m → S 25.150257°
W  6.319885°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
S 25.152744°
W  6.322632°		 ← 276.41 m →
76 428 m²		 S 25.152744°
W  6.319885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482440948486328 y=0.572223663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482440948486328 × 217)
    floor (0.482440948486328 × 131072)
    floor (63234.5)     		tx = 63234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572223663330078 × 217)
    floor (0.572223663330078 × 131072)
    floor (75002.5)     		ty = 75002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63234 / 75002 ti = "17/63234/75002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63234/75002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63234 ÷ 217
    63234 ÷ 131072     		x = 0.482437133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75002 ÷ 217
    75002 ÷ 131072     		y = 0.572219848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482437133789062 × 2 - 1) × π
    -0.035125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11035074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572219848632812 × 2 - 1) × π
    -0.144439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.453770691803452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11035074} λ = -0.11035074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453770691803452))-π/2
    2×atan(0.635228379620463)-π/2
    2×0.56592076630837-π/2
    1.13184153261674-1.57079632675     		φ = -0.43895479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11035074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43895479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.150257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63234 KachelY 75002 -0.11035074 -0.43895479 -6.322632 -25.150257
    Oben rechts KachelX + 1 63235 KachelY 75002 -0.11030281 -0.43895479 -6.319885 -25.150257
    Unten links KachelX 63234 KachelY + 1 75003 -0.11035074 -0.43899819 -6.322632 -25.152744
    Unten rechts KachelX + 1 63235 KachelY + 1 75003 -0.11030281 -0.43899819 -6.319885 -25.152744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43895479--0.43899819) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dl = 276.50140000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43895479--0.43899819) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dr = 276.50140000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11035074--0.11030281) × cos(-0.43895479) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905196365122945 × 6371000     		do = 276.412599602573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11035074--0.11030281) × cos(-0.43899819) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905177919549209 × 6371000     		du = 276.406967024732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43895479)-sin(-0.43899819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905196365122945-0.905177919549209)×R²
    abs(-0.11030281--0.11035074)×1.84455737357592e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84455737357592e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84455737357592e-05×40589641000000     		ar = 76427.6920718835m²