Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63233 / 75007
↖ ↑ ↗
← S 25.162687°
W  6.325378°		 ← 276.44 m → S 25.162687°
W  6.322632°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
S 25.165173°
W  6.325378°		 ← 276.44 m →
76 418 m²		 S 25.165173°
W  6.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482433319091797 y=0.572261810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482433319091797 × 217)
    floor (0.482433319091797 × 131072)
    floor (63233.5)     		tx = 63233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572261810302734 × 217)
    floor (0.572261810302734 × 131072)
    floor (75007.5)     		ty = 75007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63233 / 75007 ti = "17/63233/75007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63233/75007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63233 ÷ 217
    63233 ÷ 131072     		x = 0.482429504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75007 ÷ 217
    75007 ÷ 131072     		y = 0.572257995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482429504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0351409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11039868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572257995605469 × 2 - 1) × π
    -0.144515991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.454010376301552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11039868} λ = -0.11039868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454010376301552))-π/2
    2×atan(0.635076143470166)-π/2
    2×0.565812291066181-π/2
    1.13162458213236-1.57079632675     		φ = -0.43917174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11039868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.325378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43917174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.162687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63233 KachelY 75007 -0.11039868 -0.43917174 -6.325378 -25.162687
    Oben rechts KachelX + 1 63234 KachelY 75007 -0.11035074 -0.43917174 -6.322632 -25.162687
    Unten links KachelX 63233 KachelY + 1 75008 -0.11039868 -0.43921513 -6.325378 -25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 63234 KachelY + 1 75008 -0.11035074 -0.43921513 -6.322632 -25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43917174--0.43921513) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43917174--0.43921513) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11039868--0.11035074) × cos(-0.43917174) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905104141464543 × 6371000     		do = 276.442102183851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11039868--0.11035074) × cos(-0.43921513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 276.43646712662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43917174)-sin(-0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905104141464543-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.11035074--0.11039868)×1.84498439166347e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84498439166347e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84498439166347e-05×40589641000000     		ar = 76418.237287364m²