Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63233 / 75003
↖ ↑ ↗
← S 25.152744°
W  6.325378°		 ← 276.46 m → S 25.152744°
W  6.322632°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
S 25.155230°
W  6.325378°		 ← 276.46 m →
76 424 m²		 S 25.155230°
W  6.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482433319091797 y=0.572231292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482433319091797 × 217)
    floor (0.482433319091797 × 131072)
    floor (63233.5)     		tx = 63233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572231292724609 × 217)
    floor (0.572231292724609 × 131072)
    floor (75003.5)     		ty = 75003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63233 / 75003 ti = "17/63233/75003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63233/75003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63233 ÷ 217
    63233 ÷ 131072     		x = 0.482429504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75003 ÷ 217
    75003 ÷ 131072     		y = 0.572227478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482429504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0351409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11039868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572227478027344 × 2 - 1) × π
    -0.144454956054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.453818628703072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11039868} λ = -0.11039868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453818628703072))-π/2
    2×atan(0.635197929471242)-π/2
    2×0.565899070375779-π/2
    1.13179814075156-1.57079632675     		φ = -0.43899819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11039868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.325378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43899819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.152744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63233 KachelY 75003 -0.11039868 -0.43899819 -6.325378 -25.152744
    Oben rechts KachelX + 1 63234 KachelY 75003 -0.11035074 -0.43899819 -6.322632 -25.152744
    Unten links KachelX 63233 KachelY + 1 75004 -0.11039868 -0.43904158 -6.325378 -25.155230
    Unten rechts KachelX + 1 63234 KachelY + 1 75004 -0.11035074 -0.43904158 -6.322632 -25.155230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43899819--0.43904158) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dl = 276.43768999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43899819--0.43904158) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dr = 276.43768999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11039868--0.11035074) × cos(-0.43899819) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905177919549209 × 6371000     		do = 276.464635909956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11039868--0.11035074) × cos(-0.43904158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905159476521238 × 6371000     		du = 276.45900293449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43899819)-sin(-0.43904158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905177919549209-0.905159476521238)×R²
    abs(-0.11035074--0.11039868)×1.84430279712711e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84430279712711e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84430279712711e-05×40589641000000     		ar = 76424.4667462444m²