Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6323 / 6133
↖ ↑ ↗
← S 66.319861°
E 97.866211°		 ← 1 962.56 m → S 66.319861°
E 97.910156°		 →
↑
1 961.89 m
↓
↑
1 961.89 m
↓
S 66.337505°
E 97.866211°		 ← 1 961.19 m →
3 848 974 m²		 S 66.337505°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77191162109375 y=0.74871826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77191162109375 × 213)
    floor (0.77191162109375 × 8192)
    floor (6323.5)     		tx = 6323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74871826171875 × 213)
    floor (0.74871826171875 × 8192)
    floor (6133.5)     		ty = 6133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6323 / 6133 ti = "13/6323/6133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6323/6133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6323 ÷ 213
    6323 ÷ 8192     		x = 0.7718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6133 ÷ 213
    6133 ÷ 8192     		y = 0.7486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70808761} λ = 1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56235943241687))-π/2
    2×atan(0.209640853788165)-π/2
    2×0.206648192550903-π/2
    0.413296385101807-1.57079632675     		φ = -1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6323 KachelY 6133 1.70808761 -1.15749994 97.866211 -66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 6324 KachelY 6133 1.70885460 -1.15749994 97.910156 -66.319861
    Unten links KachelX 6323 KachelY + 1 6134 1.70808761 -1.15780788 97.866211 -66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 6324 KachelY + 1 6134 1.70885460 -1.15780788 97.910156 -66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15749994--1.15780788) × R
    0.000307940000000118 × 6371000     		dl = 1961.88574000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15749994--1.15780788) × R
    0.000307940000000118 × 6371000     		dr = 1961.88574000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70808761-1.70885460) × cos(-1.15749994) × R
    0.000766990000000023 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 1962.56397028292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70808761-1.70885460) × cos(-1.15780788) × R
    0.000766990000000023 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 1961.18582736802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15749994)-sin(-1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.40134831073675)×R²
    abs(1.70885460-1.70808761)×0.000282031066679289×R²
    0.000766990000000023×0.000282031066679289×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282031066679289×40589641000000     		ar = 3848974.41808453m²