Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6323 / 6131
↖ ↑ ↗
← S 66.284537°
E 97.866211°		 ← 1 965.32 m → S 66.284537°
E 97.910156°		 →
↑
1 964.63 m
↓
↑
1 964.63 m
↓
S 66.302206°
E 97.866211°		 ← 1 963.94 m →
3 859 767 m²		 S 66.302206°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77191162109375 y=0.74847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77191162109375 × 213)
    floor (0.77191162109375 × 8192)
    floor (6323.5)     		tx = 6323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74847412109375 × 213)
    floor (0.74847412109375 × 8192)
    floor (6131.5)     		ty = 6131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6323 / 6131 ti = "13/6323/6131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6323/6131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6323 ÷ 213
    6323 ÷ 8192     		x = 0.7718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6131 ÷ 213
    6131 ÷ 8192     		y = 0.7484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70808761} λ = 1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56082545162903))-π/2
    2×atan(0.209962685609029)-π/2
    2×0.206956455621024-π/2
    0.413912911242049-1.57079632675     		φ = -1.15688342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15688342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.284537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6323 KachelY 6131 1.70808761 -1.15688342 97.866211 -66.284537
    Oben rechts KachelX + 1 6324 KachelY 6131 1.70885460 -1.15688342 97.910156 -66.284537
    Unten links KachelX 6323 KachelY + 1 6132 1.70808761 -1.15719179 97.866211 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 6324 KachelY + 1 6132 1.70885460 -1.15719179 97.910156 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15688342--1.15719179) × R
    0.000308369999999947 × 6371000     		dl = 1964.62526999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15688342--1.15719179) × R
    0.000308369999999947 × 6371000     		dr = 1964.62526999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70808761-1.70885460) × cos(-1.15688342) × R
    0.000766990000000023 × 0.40219487560849 × 6371000     		do = 1965.32256093333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70808761-1.70885460) × cos(-1.15719179) × R
    0.000766990000000023 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 1963.94286672922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15688342)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40219487560849-0.401912527077093)×R²
    abs(1.70885460-1.70808761)×0.000282348531397136×R²
    0.000766990000000023×0.000282348531397136×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282348531397136×40589641000000     		ar = 3859767.10644781m²