Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63229 / 74999
↖ ↑ ↗
← S 25.142798°
W  6.336365°		 ← 276.49 m → S 25.142798°
W  6.333618°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
S 25.145285°
W  6.336365°		 ← 276.48 m →
76 448 m²		 S 25.145285°
W  6.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482402801513672 y=0.572200775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482402801513672 × 217)
    floor (0.482402801513672 × 131072)
    floor (63229.5)     		tx = 63229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572200775146484 × 217)
    floor (0.572200775146484 × 131072)
    floor (74999.5)     		ty = 74999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63229 / 74999 ti = "17/63229/74999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63229/74999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63229 ÷ 217
    63229 ÷ 131072     		x = 0.482398986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74999 ÷ 217
    74999 ÷ 131072     		y = 0.572196960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482398986816406 × 2 - 1) × π
    -0.0352020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11059043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572196960449219 × 2 - 1) × π
    -0.144393920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.453626881104591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11059043} λ = -0.11059043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453626881104591))-π/2
    2×atan(0.635319738826731)-π/2
    2×0.565985856758095-π/2
    1.13197171351619-1.57079632675     		φ = -0.43882461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11059043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.336365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43882461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.142798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63229 KachelY 74999 -0.11059043 -0.43882461 -6.336365 -25.142798
    Oben rechts KachelX + 1 63230 KachelY 74999 -0.11054249 -0.43882461 -6.333618 -25.142798
    Unten links KachelX 63229 KachelY + 1 75000 -0.11059043 -0.43886801 -6.336365 -25.145285
    Unten rechts KachelX + 1 63230 KachelY + 1 75000 -0.11054249 -0.43886801 -6.333618 -25.145285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43882461--0.43886801) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dl = 276.501399999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43882461--0.43886801) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dr = 276.501399999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11059043--0.11054249) × cos(-0.43882461) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.905251683116549 × 6371000     		do = 276.487165202176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11059043--0.11054249) × cos(-0.43886801) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.905233242657106 × 6371000     		du = 276.481533011205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43882461)-sin(-0.43886801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905251683116549-0.905233242657106)×R²
    abs(-0.11054249--0.11059043)×1.8440459442326e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.8440459442326e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.8440459442326e-05×40589641000000     		ar = 76448.3096180749m²