Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63227 / 77461
↖ ↑ ↗
← S 31.102334°
W  6.341858°		 ← 261.52 m → S 31.102334°
W  6.339111°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
S 31.104685°
W  6.341858°		 ← 261.51 m →
68 378 m²		 S 31.104685°
W  6.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482387542724609 y=0.590984344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482387542724609 × 217)
    floor (0.482387542724609 × 131072)
    floor (63227.5)     		tx = 63227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590984344482422 × 217)
    floor (0.590984344482422 × 131072)
    floor (77461.5)     		ty = 77461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63227 / 77461 ti = "17/63227/77461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63227/77461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63227 ÷ 217
    63227 ÷ 131072     		x = 0.482383728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77461 ÷ 217
    77461 ÷ 131072     		y = 0.590980529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482383728027344 × 2 - 1) × π
    -0.0352325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11068630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590980529785156 × 2 - 1) × π
    -0.181961059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.57164752796917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11068630} λ = -0.11068630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57164752796917))-π/2
    2×atan(0.564594486817212)-π/2
    2×0.513979100454351-π/2
    1.0279582009087-1.57079632675     		φ = -0.54283813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11068630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.341858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54283813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.102334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63227 KachelY 77461 -0.11068630 -0.54283813 -6.341858 -31.102334
    Oben rechts KachelX + 1 63228 KachelY 77461 -0.11063836 -0.54283813 -6.339111 -31.102334
    Unten links KachelX 63227 KachelY + 1 77462 -0.11068630 -0.54287917 -6.341858 -31.104685
    Unten rechts KachelX + 1 63228 KachelY + 1 77462 -0.11063836 -0.54287917 -6.339111 -31.104685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54283813--0.54287917) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dl = 261.465839999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54283813--0.54287917) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dr = 261.465839999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11068630--0.11063836) × cos(-0.54283813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856246044129152 × 6371000     		do = 261.519581650199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11068630--0.11063836) × cos(-0.54287917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856224843448886 × 6371000     		du = 261.51310641674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54283813)-sin(-0.54287917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856246044129152-0.856224843448886)×R²
    abs(-0.11063836--0.11068630)×2.12006802663423e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12006802663423e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12006802663423e-05×40589641000000     		ar = 68377.5905760758m²