Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63226 / 75001
↖ ↑ ↗
← S 25.147771°
W  6.344605°		 ← 276.48 m → S 25.147771°
W  6.341858°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
S 25.150257°
W  6.344605°		 ← 276.47 m →
76 428 m²		 S 25.150257°
W  6.341858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482379913330078 y=0.572216033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482379913330078 × 217)
    floor (0.482379913330078 × 131072)
    floor (63226.5)     		tx = 63226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572216033935547 × 217)
    floor (0.572216033935547 × 131072)
    floor (75001.5)     		ty = 75001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63226 / 75001 ti = "17/63226/75001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63226/75001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63226 ÷ 217
    63226 ÷ 131072     		x = 0.482376098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75001 ÷ 217
    75001 ÷ 131072     		y = 0.572212219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482376098632812 × 2 - 1) × π
    -0.035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11073424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572212219238281 × 2 - 1) × π
    -0.144424438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.453722754903832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11073424} λ = -0.11073424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453722754903832))-π/2
    2×atan(0.635258831229405)-π/2
    2×0.565942462682975-π/2
    1.13188492536595-1.57079632675     		φ = -0.43891140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11073424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.344605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43891140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.147771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63226 KachelY 75001 -0.11073424 -0.43891140 -6.344605 -25.147771
    Oben rechts KachelX + 1 63227 KachelY 75001 -0.11068630 -0.43891140 -6.341858 -25.147771
    Unten links KachelX 63226 KachelY + 1 75002 -0.11073424 -0.43895479 -6.344605 -25.150257
    Unten rechts KachelX + 1 63227 KachelY + 1 75002 -0.11068630 -0.43895479 -6.341858 -25.150257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43891140--0.43895479) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dl = 276.43768999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43891140--0.43895479) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dr = 276.43768999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11073424--0.11068630) × cos(-0.43891140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905214804742146 × 6371000     		do = 276.475901597304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11073424--0.11068630) × cos(-0.43895479) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905196365122945 × 6371000     		du = 276.470269662964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43891140)-sin(-0.43895479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905214804742146-0.905196365122945)×R²
    abs(-0.11068630--0.11073424)×1.84396192012271e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84396192012271e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84396192012271e-05×40589641000000     		ar = 76427.5811507684m²