Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63222 / 77394
↖ ↑ ↗
← S 30.944636°
W  6.355591°		 ← 261.95 m → S 30.944636°
W  6.352844°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 30.946991°
W  6.355591°		 ← 261.95 m →
68 608 m²		 S 30.946991°
W  6.352844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482349395751953 y=0.590473175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482349395751953 × 217)
    floor (0.482349395751953 × 131072)
    floor (63222.5)     		tx = 63222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590473175048828 × 217)
    floor (0.590473175048828 × 131072)
    floor (77394.5)     		ty = 77394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63222 / 77394 ti = "17/63222/77394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63222/77394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63222 ÷ 217
    63222 ÷ 131072     		x = 0.482345581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77394 ÷ 217
    77394 ÷ 131072     		y = 0.590469360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590469360351562 × 2 - 1) × π
    -0.180938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.568435755694626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11092599} λ = -0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568435755694626))-π/2
    2×atan(0.566410750888322)-π/2
    2×0.515355273663192-π/2
    1.03071054732638-1.57079632675     		φ = -0.54008578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54008578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.944636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63222 KachelY 77394 -0.11092599 -0.54008578 -6.355591 -30.944636
    Oben rechts KachelX + 1 63223 KachelY 77394 -0.11087805 -0.54008578 -6.352844 -30.944636
    Unten links KachelX 63222 KachelY + 1 77395 -0.11092599 -0.54012689 -6.355591 -30.946991
    Unten rechts KachelX + 1 63223 KachelY + 1 77395 -0.11087805 -0.54012689 -6.352844 -30.946991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54008578--0.54012689) × R
    4.11100000000664e-05 × 6371000     		dl = 261.911810000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54008578--0.54012689) × R
    4.11100000000664e-05 × 6371000     		dr = 261.911810000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11092599--0.11087805) × cos(-0.54008578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857664575622915 × 6371000     		do = 261.952837681395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11092599--0.11087805) × cos(-0.54012689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857643435743004 × 6371000     		du = 261.946381017929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54008578)-sin(-0.54012689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857664575622915-0.857643435743004)×R²
    abs(-0.11087805--0.11092599)×2.11398799109253e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11398799109253e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11398799109253e-05×40589641000000     		ar = 68607.6963233644m²