Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63222 / 77393
↖ ↑ ↗
← S 30.942280°
W  6.355591°		 ← 261.96 m → S 30.942280°
W  6.352844°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 30.944636°
W  6.355591°		 ← 261.95 m →
68 609 m²		 S 30.944636°
W  6.352844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482349395751953 y=0.590465545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482349395751953 × 217)
    floor (0.482349395751953 × 131072)
    floor (63222.5)     		tx = 63222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590465545654297 × 217)
    floor (0.590465545654297 × 131072)
    floor (77393.5)     		ty = 77393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63222 / 77393 ti = "17/63222/77393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63222/77393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63222 ÷ 217
    63222 ÷ 131072     		x = 0.482345581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77393 ÷ 217
    77393 ÷ 131072     		y = 0.590461730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590461730957031 × 2 - 1) × π
    -0.180923461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.568387818795006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11092599} λ = -0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568387818795006))-π/2
    2×atan(0.566437903514433)-π/2
    2×0.515375830806889-π/2
    1.03075166161378-1.57079632675     		φ = -0.54004467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54004467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.942280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63222 KachelY 77393 -0.11092599 -0.54004467 -6.355591 -30.942280
    Oben rechts KachelX + 1 63223 KachelY 77393 -0.11087805 -0.54004467 -6.352844 -30.942280
    Unten links KachelX 63222 KachelY + 1 77394 -0.11092599 -0.54008578 -6.355591 -30.944636
    Unten rechts KachelX + 1 63223 KachelY + 1 77394 -0.11087805 -0.54008578 -6.352844 -30.944636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54004467--0.54008578) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54004467--0.54008578) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11092599--0.11087805) × cos(-0.54004467) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857685714053345 × 6371000     		do = 261.959293902151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11092599--0.11087805) × cos(-0.54008578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857664575622915 × 6371000     		du = 261.952837681395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54004467)-sin(-0.54008578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857685714053345-0.857664575622915)×R²
    abs(-0.11087805--0.11092599)×2.11384304301676e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11384304301676e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11384304301676e-05×40589641000000     		ar = 68609.3873415026m²