Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63221 / 77396
↖ ↑ ↗
← S 30.949347°
W  6.358337°		 ← 261.89 m → S 30.949347°
W  6.355591°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 30.951703°
W  6.358337°		 ← 261.88 m →
68 607 m²		 S 30.951703°
W  6.355591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482341766357422 y=0.590488433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482341766357422 × 217)
    floor (0.482341766357422 × 131072)
    floor (63221.5)     		tx = 63221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590488433837891 × 217)
    floor (0.590488433837891 × 131072)
    floor (77396.5)     		ty = 77396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63221 / 77396 ti = "17/63221/77396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63221/77396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63221 ÷ 217
    63221 ÷ 131072     		x = 0.482337951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77396 ÷ 217
    77396 ÷ 131072     		y = 0.590484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482337951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0353240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11097392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.18096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.568531629493866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11097392} λ = -0.11097392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568531629493866))-π/2
    2×atan(0.566356449540784)-π/2
    2×0.515314160895978-π/2
    1.03062832179196-1.57079632675     		φ = -0.54016800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11097392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.358337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54016800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.949347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63221 KachelY 77396 -0.11097392 -0.54016800 -6.358337 -30.949347
    Oben rechts KachelX + 1 63222 KachelY 77396 -0.11092599 -0.54016800 -6.355591 -30.949347
    Unten links KachelX 63221 KachelY + 1 77397 -0.11097392 -0.54020912 -6.358337 -30.951703
    Unten rechts KachelX + 1 63222 KachelY + 1 77397 -0.11092599 -0.54020912 -6.355591 -30.951703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54016800--0.54020912) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dl = 261.975520000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54016800--0.54020912) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dr = 261.975520000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11097392--0.11092599) × cos(-0.54016800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857622294413648 × 6371000     		do = 261.885284795418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11097392--0.11092599) × cos(-0.54020912) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857601146491729 × 6371000     		du = 261.878827023051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54016800)-sin(-0.54020912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857622294413648-0.857601146491729)×R²
    abs(-0.11092599--0.11097392)×2.11479219185406e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11479219185406e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11479219185406e-05×40589641000000     		ar = 68606.6877852144m²