Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63220 / 77452
↖ ↑ ↗
← S 31.081165°
W  6.361084°		 ← 261.58 m → S 31.081165°
W  6.358337°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
S 31.083518°
W  6.361084°		 ← 261.57 m →
68 426 m²		 S 31.083518°
W  6.358337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482334136962891 y=0.590915679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482334136962891 × 217)
    floor (0.482334136962891 × 131072)
    floor (63220.5)     		tx = 63220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590915679931641 × 217)
    floor (0.590915679931641 × 131072)
    floor (77452.5)     		ty = 77452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63220 / 77452 ti = "17/63220/77452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63220/77452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63220 ÷ 217
    63220 ÷ 131072     		x = 0.482330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77452 ÷ 217
    77452 ÷ 131072     		y = 0.590911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11102186} λ = -0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571216095872589))-π/2
    2×atan(0.564838123552952)-π/2
    2×0.51416382704731-π/2
    1.02832765409462-1.57079632675     		φ = -0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63220 KachelY 77452 -0.11102186 -0.54246867 -6.361084 -31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 63221 KachelY 77452 -0.11097392 -0.54246867 -6.358337 -31.081165
    Unten links KachelX 63220 KachelY + 1 77453 -0.11102186 -0.54250973 -6.361084 -31.083518
    Unten rechts KachelX + 1 63221 KachelY + 1 77453 -0.11097392 -0.54250973 -6.358337 -31.083518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54246867--0.54250973) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dl = 261.593260000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54246867--0.54250973) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dr = 261.593260000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11102186--0.11097392) × cos(-0.54246867) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 261.577854696413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11102186--0.11097392) × cos(-0.54250973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856415638953506 × 6371000     		du = 261.571380274927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54246867)-sin(-0.54250973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856415638953506)×R²
    abs(-0.11097392--0.11102186)×2.11980217709185e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11980217709185e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11980217709185e-05×40589641000000     		ar = 68426.1569310481m²