Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6322 / 6098
↖ ↑ ↗
← S 65.694476°
E 97.822266°		 ← 2 011.29 m → S 65.694476°
E 97.866211°		 →
↑
2 010.62 m
↓
↑
2 010.62 m
↓
S 65.712558°
E 97.822266°		 ← 2 009.89 m →
4 042 538 m²		 S 65.712558°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77178955078125 y=0.74444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77178955078125 × 213)
    floor (0.77178955078125 × 8192)
    floor (6322.5)     		tx = 6322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74444580078125 × 213)
    floor (0.74444580078125 × 8192)
    floor (6098.5)     		ty = 6098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6322 / 6098 ti = "13/6322/6098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6322/6098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6322 ÷ 213
    6322 ÷ 8192     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6098 ÷ 213
    6098 ÷ 8192     		y = 0.744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.48876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53551476862964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53551476862964))-π/2
    2×atan(0.215344809880404)-π/2
    2×0.212105711920292-π/2
    0.424211423840584-1.57079632675     		φ = -1.14658490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14658490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.694476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6322 KachelY 6098 1.70732062 -1.14658490 97.822266 -65.694476
    Oben rechts KachelX + 1 6323 KachelY 6098 1.70808761 -1.14658490 97.866211 -65.694476
    Unten links KachelX 6322 KachelY + 1 6099 1.70732062 -1.14690049 97.822266 -65.712558
    Unten rechts KachelX + 1 6323 KachelY + 1 6099 1.70808761 -1.14690049 97.866211 -65.712558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14658490--1.14690049) × R
    0.000315590000000032 × 6371000     		dl = 2010.62389000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14658490--1.14690049) × R
    0.000315590000000032 × 6371000     		dr = 2010.62389000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.14658490) × R
    0.000766990000000023 × 0.411602232883906 × 6371000     		do = 2011.29154913628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.14690049) × R
    0.000766990000000023 × 0.411314595154621 × 6371000     		du = 2009.88600930218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14658490)-sin(-1.14690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411602232883906-0.411314595154621)×R²
    abs(1.70808761-1.70732062)×0.000287637729284973×R²
    0.000766990000000023×0.000287637729284973×6371000²
    0.000766990000000023×0.000287637729284973×40589641000000     		ar = 4042537.86601506m²