Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6322 / 6057
↖ ↑ ↗
← S 64.942160°
E 97.822266°		 ← 2 069.59 m → S 64.942160°
E 97.866211°		 →
↑
2 068.92 m
↓
↑
2 068.92 m
↓
S 64.960766°
E 97.822266°		 ← 2 068.15 m →
4 280 328 m²		 S 64.960766°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77178955078125 y=0.73944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77178955078125 × 213)
    floor (0.77178955078125 × 8192)
    floor (6322.5)     		tx = 6322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73944091796875 × 213)
    floor (0.73944091796875 × 8192)
    floor (6057.5)     		ty = 6057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6322 / 6057 ti = "13/6322/6057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6322/6057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6322 ÷ 213
    6322 ÷ 8192     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6057 ÷ 213
    6057 ÷ 8192     		y = 0.7393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50406816247888))-π/2
    2×atan(0.222224274297784)-π/2
    2×0.218670901380392-π/2
    0.437341802760785-1.57079632675     		φ = -1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6322 KachelY 6057 1.70732062 -1.13345452 97.822266 -64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 6323 KachelY 6057 1.70808761 -1.13345452 97.866211 -64.942160
    Unten links KachelX 6322 KachelY + 1 6058 1.70732062 -1.13377926 97.822266 -64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 6323 KachelY + 1 6058 1.70808761 -1.13377926 97.866211 -64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13345452--1.13377926) × R
    0.000324740000000157 × 6371000     		dl = 2068.918540001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13345452--1.13377926) × R
    0.000324740000000157 × 6371000     		dr = 2068.918540001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.13345452) × R
    0.000766990000000023 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 2069.59095899036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.13377926) × R
    0.000766990000000023 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 2068.15336232153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13345452)-sin(-1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423238760309742)×R²
    abs(1.70808761-1.70732062)×0.000294198023717884×R²
    0.000766990000000023×0.000294198023717884×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294198023717884×40589641000000     		ar = 4280328.00768808m²