Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6322 / 6055
↖ ↑ ↗
← S 64.904910°
E 97.822266°		 ← 2 072.47 m → S 64.904910°
E 97.866211°		 →
↑
2 071.79 m
↓
↑
2 071.79 m
↓
S 64.923542°
E 97.822266°		 ← 2 071.03 m →
4 292 219 m²		 S 64.923542°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77178955078125 y=0.73919677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77178955078125 × 213)
    floor (0.77178955078125 × 8192)
    floor (6322.5)     		tx = 6322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73919677734375 × 213)
    floor (0.73919677734375 × 8192)
    floor (6055.5)     		ty = 6055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6322 / 6055 ti = "13/6322/6055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6322/6055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6322 ÷ 213
    6322 ÷ 8192     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6055 ÷ 213
    6055 ÷ 8192     		y = 0.7391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50253418169104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50253418169104))-π/2
    2×atan(0.222565423656534)-π/2
    2×0.21899597287321-π/2
    0.43799194574642-1.57079632675     		φ = -1.13280438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13280438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.904910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6322 KachelY 6055 1.70732062 -1.13280438 97.822266 -64.904910
    Oben rechts KachelX + 1 6323 KachelY 6055 1.70808761 -1.13280438 97.866211 -64.904910
    Unten links KachelX 6322 KachelY + 1 6056 1.70732062 -1.13312957 97.822266 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 6323 KachelY + 1 6056 1.70808761 -1.13312957 97.866211 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13280438--1.13312957) × R
    0.000325189999999864 × 6371000     		dl = 2071.78548999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13280438--1.13312957) × R
    0.000325189999999864 × 6371000     		dr = 2071.78548999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.13280438) × R
    0.000766990000000023 × 0.424121818057005 × 6371000     		do = 2072.46841807822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70808761) × cos(-1.13312957) × R
    0.000766990000000023 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 2071.02926684882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13280438)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424121818057005-0.423827301899101)×R²
    abs(1.70808761-1.70732062)×0.000294516157903879×R²
    0.000766990000000023×0.000294516157903879×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294516157903879×40589641000000     		ar = 4292219.22856162m²