Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63219 / 77497
↖ ↑ ↗
← S 31.186959°
W  6.363831°		 ← 261.29 m → S 31.186959°
W  6.361084°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.189308°
W  6.363831°		 ← 261.28 m →
68 267 m²		 S 31.189308°
W  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482326507568359 y=0.591259002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482326507568359 × 217)
    floor (0.482326507568359 × 131072)
    floor (63219.5)     		tx = 63219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591259002685547 × 217)
    floor (0.591259002685547 × 131072)
    floor (77497.5)     		ty = 77497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63219 / 77497 ti = "17/63219/77497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63219/77497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63219 ÷ 217
    63219 ÷ 131072     		x = 0.482322692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77497 ÷ 217
    77497 ÷ 131072     		y = 0.591255187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482322692871094 × 2 - 1) × π
    -0.0353546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11106980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591255187988281 × 2 - 1) × π
    -0.182510375976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.573373256355492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11106980} λ = -0.11106980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573373256355492))-π/2
    2×atan(0.56362099032142)-π/2
    2×0.513240605885952-π/2
    1.0264812117719-1.57079632675     		φ = -0.54431511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11106980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.363831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54431511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.186959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63219 KachelY 77497 -0.11106980 -0.54431511 -6.363831 -31.186959
    Oben rechts KachelX + 1 63220 KachelY 77497 -0.11102186 -0.54431511 -6.361084 -31.186959
    Unten links KachelX 63219 KachelY + 1 77498 -0.11106980 -0.54435612 -6.363831 -31.189308
    Unten rechts KachelX + 1 63220 KachelY + 1 77498 -0.11102186 -0.54435612 -6.361084 -31.189308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54431511--0.54435612) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54431511--0.54435612) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11106980--0.11102186) × cos(-0.54431511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855482149559663 × 6371000     		do = 261.286268586031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11106980--0.11102186) × cos(-0.54435612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855460912537629 × 6371000     		du = 261.27978225286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54431511)-sin(-0.54435612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855482149559663-0.855460912537629)×R²
    abs(-0.11102186--0.11106980)×2.12370220346036e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12370220346036e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12370220346036e-05×40589641000000     		ar = 68266.6467039321m²