Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63217 / 77400
↖ ↑ ↗
← S 30.958768°
W  6.369324°		 ← 261.91 m → S 30.958768°
W  6.366577°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 30.961124°
W  6.369324°		 ← 261.91 m →
68 598 m²		 S 30.961124°
W  6.366577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482311248779297 y=0.590518951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482311248779297 × 217)
    floor (0.482311248779297 × 131072)
    floor (63217.5)     		tx = 63217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590518951416016 × 217)
    floor (0.590518951416016 × 131072)
    floor (77400.5)     		ty = 77400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63217 / 77400 ti = "17/63217/77400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63217/77400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63217 ÷ 217
    63217 ÷ 131072     		x = 0.482307434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77400 ÷ 217
    77400 ÷ 131072     		y = 0.59051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482307434082031 × 2 - 1) × π
    -0.0353851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11116567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568723377092346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11116567} λ = -0.11116567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568723377092346))-π/2
    2×atan(0.566247862462689)-π/2
    2×0.515231941442894-π/2
    1.03046388288579-1.57079632675     		φ = -0.54033244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11116567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.369324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54033244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.958768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63217 KachelY 77400 -0.11116567 -0.54033244 -6.369324 -30.958768
    Oben rechts KachelX + 1 63218 KachelY 77400 -0.11111773 -0.54033244 -6.366577 -30.958768
    Unten links KachelX 63217 KachelY + 1 77401 -0.11116567 -0.54037355 -6.369324 -30.961124
    Unten rechts KachelX + 1 63218 KachelY + 1 77401 -0.11111773 -0.54037355 -6.366577 -30.961124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54033244--0.54037355) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54033244--0.54037355) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11116567--0.11111773) × cos(-0.54033244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85753771460249 × 6371000     		do = 261.914091060354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11116567--0.11111773) × cos(-0.54037355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857516566026445 × 6371000     		du = 261.907631740866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54033244)-sin(-0.54037355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85753771460249-0.857516566026445)×R²
    abs(-0.11111773--0.11116567)×2.11485760446273e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11485760446273e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11485760446273e-05×40589641000000     		ar = 68597.5477776645m²