Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63213 / 77402
↖ ↑ ↗
← S 30.963479°
W  6.380310°		 ← 261.90 m → S 30.963479°
W  6.377563°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.965834°
W  6.380310°		 ← 261.89 m →
68 577 m²		 S 30.965834°
W  6.377563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482280731201172 y=0.590534210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482280731201172 × 217)
    floor (0.482280731201172 × 131072)
    floor (63213.5)     		tx = 63213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590534210205078 × 217)
    floor (0.590534210205078 × 131072)
    floor (77402.5)     		ty = 77402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63213 / 77402 ti = "17/63213/77402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63213/77402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63213 ÷ 217
    63213 ÷ 131072     		x = 0.482276916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77402 ÷ 217
    77402 ÷ 131072     		y = 0.590530395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482276916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0354461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11135742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590530395507812 × 2 - 1) × π
    -0.181060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.568819250891586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11135742} λ = -0.11135742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568819250891586))-π/2
    2×atan(0.566193576731135)-π/2
    2×0.515190834757381-π/2
    1.03038166951476-1.57079632675     		φ = -0.54041466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11135742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.380310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54041466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.963479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63213 KachelY 77402 -0.11135742 -0.54041466 -6.380310 -30.963479
    Oben rechts KachelX + 1 63214 KachelY 77402 -0.11130948 -0.54041466 -6.377563 -30.963479
    Unten links KachelX 63213 KachelY + 1 77403 -0.11135742 -0.54045576 -6.380310 -30.965834
    Unten rechts KachelX + 1 63214 KachelY + 1 77403 -0.11130948 -0.54045576 -6.377563 -30.965834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54041466--0.54045576) × R
    4.10999999999051e-05 × 6371000     		dl = 261.848099999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54041466--0.54045576) × R
    4.10999999999051e-05 × 6371000     		dr = 261.848099999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11135742--0.11130948) × cos(-0.54041466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85749541600117 × 6371000     		do = 261.901171978745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11135742--0.11130948) × cos(-0.54045576) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857474269671969 × 6371000     		du = 261.894713345501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54041466)-sin(-0.54045576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85749541600117-0.857474269671969)×R²
    abs(-0.11130948--0.11135742)×2.11463292012493e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11463292012493e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11463292012493e-05×40589641000000     		ar = 68577.4786894797m²