Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63213 / 77401
↖ ↑ ↗
← S 30.961124°
W  6.380310°		 ← 261.91 m → S 30.961124°
W  6.377563°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 30.963479°
W  6.380310°		 ← 261.90 m →
68 596 m²		 S 30.963479°
W  6.377563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482280731201172 y=0.590526580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482280731201172 × 217)
    floor (0.482280731201172 × 131072)
    floor (63213.5)     		tx = 63213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590526580810547 × 217)
    floor (0.590526580810547 × 131072)
    floor (77401.5)     		ty = 77401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63213 / 77401 ti = "17/63213/77401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63213/77401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63213 ÷ 217
    63213 ÷ 131072     		x = 0.482276916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77401 ÷ 217
    77401 ÷ 131072     		y = 0.590522766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482276916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0354461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11135742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590522766113281 × 2 - 1) × π
    -0.181045532226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.568771313991966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11135742} λ = -0.11135742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568771313991966))-π/2
    2×atan(0.56622071894634)-π/2
    2×0.5152113878467-π/2
    1.0304227756934-1.57079632675     		φ = -0.54037355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11135742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.380310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54037355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.961124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63213 KachelY 77401 -0.11135742 -0.54037355 -6.380310 -30.961124
    Oben rechts KachelX + 1 63214 KachelY 77401 -0.11130948 -0.54037355 -6.377563 -30.961124
    Unten links KachelX 63213 KachelY + 1 77402 -0.11135742 -0.54041466 -6.380310 -30.963479
    Unten rechts KachelX + 1 63214 KachelY + 1 77402 -0.11130948 -0.54041466 -6.377563 -30.963479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54037355--0.54041466) × R
    4.11100000000664e-05 × 6371000     		dl = 261.911810000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54037355--0.54041466) × R
    4.11100000000664e-05 × 6371000     		dr = 261.911810000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11135742--0.11130948) × cos(-0.54037355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857516566026445 × 6371000     		do = 261.907631740866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11135742--0.11130948) × cos(-0.54041466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85749541600117 × 6371000     		du = 261.901171978745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54037355)-sin(-0.54041466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857516566026445-0.85749541600117)×R²
    abs(-0.11130948--0.11135742)×2.11500252750296e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11500252750296e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11500252750296e-05×40589641000000     		ar = 68595.8559478841m²