Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63212 / 77410
↖ ↑ ↗
← S 30.982319°
W  6.383056°		 ← 261.79 m → S 30.982319°
W  6.380310°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.984673°
W  6.383056°		 ← 261.79 m →
68 550 m²		 S 30.984673°
W  6.380310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482273101806641 y=0.590595245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482273101806641 × 217)
    floor (0.482273101806641 × 131072)
    floor (63212.5)     		tx = 63212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590595245361328 × 217)
    floor (0.590595245361328 × 131072)
    floor (77410.5)     		ty = 77410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63212 / 77410 ti = "17/63212/77410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63212/77410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63212 ÷ 217
    63212 ÷ 131072     		x = 0.482269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77410 ÷ 217
    77410 ÷ 131072     		y = 0.590591430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.181182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.569202746088547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11140535} λ = -0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569202746088547))-π/2
    2×atan(0.565976485843225)-π/2
    2×0.515026428292996-π/2
    1.03005285658599-1.57079632675     		φ = -0.54074347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54074347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.982319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63212 KachelY 77410 -0.11140535 -0.54074347 -6.383056 -30.982319
    Oben rechts KachelX + 1 63213 KachelY 77410 -0.11135742 -0.54074347 -6.380310 -30.982319
    Unten links KachelX 63212 KachelY + 1 77411 -0.11140535 -0.54078457 -6.383056 -30.984673
    Unten rechts KachelX + 1 63213 KachelY + 1 77411 -0.11135742 -0.54078457 -6.380310 -30.984673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54074347--0.54078457) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54074347--0.54078457) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11140535--0.11135742) × cos(-0.54074347) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85732619966511 × 6371000     		do = 261.794868701932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11140535--0.11135742) × cos(-0.54078457) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857305041748924 × 6371000     		du = 261.788407877695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54074347)-sin(-0.54078457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85732619966511-0.857305041748924)×R²
    abs(-0.11135742--0.11140535)×2.11579161862874e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11579161862874e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11579161862874e-05×40589641000000     		ar = 68549.6430917289m²