Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63211 / 77407
↖ ↑ ↗
← S 30.975254°
W  6.385803°		 ← 261.87 m → S 30.975254°
W  6.383056°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.977609°
W  6.385803°		 ← 261.86 m →
68 569 m²		 S 30.977609°
W  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482265472412109 y=0.590572357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482265472412109 × 217)
    floor (0.482265472412109 × 131072)
    floor (63211.5)     		tx = 63211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590572357177734 × 217)
    floor (0.590572357177734 × 131072)
    floor (77407.5)     		ty = 77407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63211 / 77407 ti = "17/63211/77407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63211/77407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63211 ÷ 217
    63211 ÷ 131072     		x = 0.482261657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77407 ÷ 217
    77407 ÷ 131072     		y = 0.590568542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482261657714844 × 2 - 1) × π
    -0.0354766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11145329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590568542480469 × 2 - 1) × π
    -0.181137084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.569058935389687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11145329} λ = -0.11145329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569058935389687))-π/2
    2×atan(0.5660578851701)-π/2
    2×0.515088076914688-π/2
    1.03017615382938-1.57079632675     		φ = -0.54062017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11145329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.385803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54062017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.975254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63211 KachelY 77407 -0.11145329 -0.54062017 -6.385803 -30.975254
    Oben rechts KachelX + 1 63212 KachelY 77407 -0.11140535 -0.54062017 -6.383056 -30.975254
    Unten links KachelX 63211 KachelY + 1 77408 -0.11145329 -0.54066127 -6.385803 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 63212 KachelY + 1 77408 -0.11140535 -0.54066127 -6.383056 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54062017--0.54066127) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54062017--0.54066127) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11145329--0.11140535) × cos(-0.54062017) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857389664724301 × 6371000     		do = 261.868872816752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11145329--0.11140535) × cos(-0.54066127) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 261.862411971533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54062017)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857389664724301-0.857368511152834)×R²
    abs(-0.11140535--0.11145329)×2.11535714670363e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11535714670363e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11535714670363e-05×40589641000000     		ar = 68569.020926008m²