Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63210 / 77514
↖ ↑ ↗
← S 31.226894°
W  6.388550°		 ← 261.18 m → S 31.226894°
W  6.385803°		 →
↑
261.15 m
↓
↑
261.15 m
↓
S 31.229243°
W  6.388550°		 ← 261.17 m →
68 205 m²		 S 31.229243°
W  6.385803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482257843017578 y=0.591388702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482257843017578 × 217)
    floor (0.482257843017578 × 131072)
    floor (63210.5)     		tx = 63210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591388702392578 × 217)
    floor (0.591388702392578 × 131072)
    floor (77514.5)     		ty = 77514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63210 / 77514 ti = "17/63210/77514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63210/77514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63210 ÷ 217
    63210 ÷ 131072     		x = 0.482254028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77514 ÷ 217
    77514 ÷ 131072     		y = 0.591384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482254028320312 × 2 - 1) × π
    -0.035491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11150123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591384887695312 × 2 - 1) × π
    -0.182769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.574188183649033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11150123} λ = -0.11150123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574188183649033))-π/2
    2×atan(0.563161867294546)-π/2
    2×0.51289210157766-π/2
    1.02578420315532-1.57079632675     		φ = -0.54501212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11150123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54501212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.226894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63210 KachelY 77514 -0.11150123 -0.54501212 -6.388550 -31.226894
    Oben rechts KachelX + 1 63211 KachelY 77514 -0.11145329 -0.54501212 -6.385803 -31.226894
    Unten links KachelX 63210 KachelY + 1 77515 -0.11150123 -0.54505311 -6.388550 -31.229243
    Unten rechts KachelX + 1 63211 KachelY + 1 77515 -0.11145329 -0.54505311 -6.385803 -31.229243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54501212--0.54505311) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dl = 261.147290000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54501212--0.54505311) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dr = 261.147290000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11150123--0.11145329) × cos(-0.54501212) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.855121007490467 × 6371000     		do = 261.175966502377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11150123--0.11145329) × cos(-0.54505311) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.85509975638974 × 6371000     		du = 261.169475869212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54501212)-sin(-0.54505311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855121007490467-0.85509975638974)×R²
    abs(-0.11145329--0.11150123)×2.12511007270377e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12511007270377e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12511007270377e-05×40589641000000     		ar = 68204.5483692589m²