Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63210 / 77409
↖ ↑ ↗
← S 30.979964°
W  6.388550°		 ← 261.86 m → S 30.979964°
W  6.385803°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.982319°
W  6.388550°		 ← 261.85 m →
68 566 m²		 S 30.982319°
W  6.385803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482257843017578 y=0.590587615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482257843017578 × 217)
    floor (0.482257843017578 × 131072)
    floor (63210.5)     		tx = 63210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590587615966797 × 217)
    floor (0.590587615966797 × 131072)
    floor (77409.5)     		ty = 77409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63210 / 77409 ti = "17/63210/77409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63210/77409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63210 ÷ 217
    63210 ÷ 131072     		x = 0.482254028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77409 ÷ 217
    77409 ÷ 131072     		y = 0.590583801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482254028320312 × 2 - 1) × π
    -0.035491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11150123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590583801269531 × 2 - 1) × π
    -0.181167602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.569154809188927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11150123} λ = -0.11150123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569154809188927))-π/2
    2×atan(0.566003617651517)-π/2
    2×0.515046977326515-π/2
    1.03009395465303-1.57079632675     		φ = -0.54070237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11150123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54070237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.979964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63210 KachelY 77409 -0.11150123 -0.54070237 -6.388550 -30.979964
    Oben rechts KachelX + 1 63211 KachelY 77409 -0.11145329 -0.54070237 -6.385803 -30.979964
    Unten links KachelX 63210 KachelY + 1 77410 -0.11150123 -0.54074347 -6.388550 -30.982319
    Unten rechts KachelX + 1 63211 KachelY + 1 77410 -0.11145329 -0.54074347 -6.385803 -30.982319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54070237--0.54074347) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54070237--0.54074347) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11150123--0.11145329) × cos(-0.54070237) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857347356133092 × 6371000     		do = 261.855950684049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11150123--0.11145329) × cos(-0.54074347) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.85732619966511 × 6371000     		du = 261.84948895416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54070237)-sin(-0.54074347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857347356133092-0.85732619966511)×R²
    abs(-0.11145329--0.11150123)×2.11564679821752e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11564679821752e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11564679821752e-05×40589641000000     		ar = 68565.6371740042m²