Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6321 / 6171
↖ ↑ ↗
← S 66.981666°
E 97.778321°		 ← 1 910.74 m → S 66.981666°
E 97.822266°		 →
↑
1 910.09 m
↓
↑
1 910.09 m
↓
S 66.998844°
E 97.778321°		 ← 1 909.40 m →
3 648 405 m²		 S 66.998844°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77166748046875 y=0.75335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77166748046875 × 213)
    floor (0.77166748046875 × 8192)
    floor (6321.5)     		tx = 6321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75335693359375 × 213)
    floor (0.75335693359375 × 8192)
    floor (6171.5)     		ty = 6171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6321 / 6171 ti = "13/6321/6171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6321/6171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6321 ÷ 213
    6321 ÷ 8192     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6171 ÷ 213
    6171 ÷ 8192     		y = 0.7532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59150506738586))-π/2
    2×atan(0.203618920800005)-π/2
    2×0.200872857350808-π/2
    0.401745714701615-1.57079632675     		φ = -1.16905061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16905061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.981666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6321 KachelY 6171 1.70655363 -1.16905061 97.778321 -66.981666
    Oben rechts KachelX + 1 6322 KachelY 6171 1.70732062 -1.16905061 97.822266 -66.981666
    Unten links KachelX 6321 KachelY + 1 6172 1.70655363 -1.16935042 97.778321 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 6322 KachelY + 1 6172 1.70732062 -1.16935042 97.822266 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16905061--1.16935042) × R
    0.000299810000000011 × 6371000     		dl = 1910.08951000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16905061--1.16935042) × R
    0.000299810000000011 × 6371000     		dr = 1910.08951000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70732062) × cos(-1.16905061) × R
    0.000766990000000023 × 0.391025659756983 × 6371000     		do = 1910.74426262038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70732062) × cos(-1.16935042) × R
    0.000766990000000023 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 1909.39580239662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16905061)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391025659756983-0.390749703126382)×R²
    abs(1.70732062-1.70655363)×0.000275956630600427×R²
    0.000766990000000023×0.000275956630600427×6371000²
    0.000766990000000023×0.000275956630600427×40589641000000     		ar = 3648404.75978757m²