Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63208 / 27400
↖ ↑ ↗
← N 71.739548°
W  6.394043°		 ← 95.68 m → N 71.739548°
W  6.391297°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 71.738688°
W  6.394043°		 ← 95.69 m →
9 156 m²		 N 71.738688°
W  6.391297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482242584228516 y=0.209049224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482242584228516 × 217)
    floor (0.482242584228516 × 131072)
    floor (63208.5)     		tx = 63208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209049224853516 × 217)
    floor (0.209049224853516 × 131072)
    floor (27400.5)     		ty = 27400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63208 / 27400 ti = "17/63208/27400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63208/27400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63208 ÷ 217
    63208 ÷ 131072     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27400 ÷ 217
    27400 ÷ 131072     		y = 0.20904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20904541015625 × 2 - 1) × π
    0.5819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82812160391046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82812160391046))-π/2
    2×atan(6.22218794105508)-π/2
    2×1.41144382272982-π/2
    2.82288764545964-1.57079632675     		φ = 1.25209132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25209132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.739548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63208 KachelY 27400 -0.11159710 1.25209132 -6.394043 71.739548
    Oben rechts KachelX + 1 63209 KachelY 27400 -0.11154917 1.25209132 -6.391297 71.739548
    Unten links KachelX 63208 KachelY + 1 27401 -0.11159710 1.25207630 -6.394043 71.738688
    Unten rechts KachelX + 1 63209 KachelY + 1 27401 -0.11154917 1.25207630 -6.391297 71.738688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25209132-1.25207630) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25209132-1.25207630) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11154917) × cos(1.25209132) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.313337043778047 × 6371000     		do = 95.6812357622665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11154917) × cos(1.25207630) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.313351307365296 × 6371000     		du = 95.6855913202238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25209132)-sin(1.25207630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313337043778047-0.313351307365296)×R²
    abs(-0.11154917--0.11159710)×1.42635872484864e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.42635872484864e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.42635872484864e-05×40589641000000     		ar = 9156.17739566732m²