Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63207 / 77519
↖ ↑ ↗
← S 31.238637°
W  6.396790°		 ← 261.14 m → S 31.238637°
W  6.394043°		 →
↑
261.15 m
↓
↑
261.15 m
↓
S 31.240986°
W  6.396790°		 ← 261.14 m →
68 196 m²		 S 31.240986°
W  6.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482234954833984 y=0.591426849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482234954833984 × 217)
    floor (0.482234954833984 × 131072)
    floor (63207.5)     		tx = 63207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591426849365234 × 217)
    floor (0.591426849365234 × 131072)
    floor (77519.5)     		ty = 77519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63207 / 77519 ti = "17/63207/77519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63207/77519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63207 ÷ 217
    63207 ÷ 131072     		x = 0.482231140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77519 ÷ 217
    77519 ÷ 131072     		y = 0.591423034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482231140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0355377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11164504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591423034667969 × 2 - 1) × π
    -0.182846069335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.574427868147133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11164504} λ = -0.11164504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574427868147133))-π/2
    2×atan(0.563026902300189)-π/2
    2×0.512789628320614-π/2
    1.02557925664123-1.57079632675     		φ = -0.54521707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11164504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.396790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54521707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.238637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63207 KachelY 77519 -0.11164504 -0.54521707 -6.396790 -31.238637
    Oben rechts KachelX + 1 63208 KachelY 77519 -0.11159710 -0.54521707 -6.394043 -31.238637
    Unten links KachelX 63207 KachelY + 1 77520 -0.11164504 -0.54525806 -6.396790 -31.240986
    Unten rechts KachelX + 1 63208 KachelY + 1 77520 -0.11159710 -0.54525806 -6.394043 -31.240986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54521707--0.54525806) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dl = 261.147290000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54521707--0.54525806) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dr = 261.147290000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11164504--0.11159710) × cos(-0.54521707) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855014737619973 × 6371000     		do = 261.143508948466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11164504--0.11159710) × cos(-0.54525806) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.854993479335995 × 6371000     		du = 261.137016121351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54521707)-sin(-0.54525806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855014737619973-0.854993479335995)×R²
    abs(-0.11159710--0.11164504)×2.12582839780318e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12582839780318e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12582839780318e-05×40589641000000     		ar = 68196.0718803137m²