Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63202 / 77150
↖ ↑ ↗
← S 30.368136°
W  6.410522°		 ← 263.46 m → S 30.368136°
W  6.407776°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 30.370506°
W  6.410522°		 ← 263.46 m →
69 423 m²		 S 30.370506°
W  6.407776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482196807861328 y=0.588611602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482196807861328 × 217)
    floor (0.482196807861328 × 131072)
    floor (63202.5)     		tx = 63202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588611602783203 × 217)
    floor (0.588611602783203 × 131072)
    floor (77150.5)     		ty = 77150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63202 / 77150 ti = "17/63202/77150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63202/77150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63202 ÷ 217
    63202 ÷ 131072     		x = 0.482192993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77150 ÷ 217
    77150 ÷ 131072     		y = 0.588607788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482192993164062 × 2 - 1) × π
    -0.035614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11188472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588607788085938 × 2 - 1) × π
    -0.177215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.556739152187332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11188472} λ = -0.11188472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556739152187332))-π/2
    2×atan(0.573074729848534)-π/2
    2×0.520386184452298-π/2
    1.0407723689046-1.57079632675     		φ = -0.53002396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11188472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.410522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53002396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.368136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63202 KachelY 77150 -0.11188472 -0.53002396 -6.410522 -30.368136
    Oben rechts KachelX + 1 63203 KachelY 77150 -0.11183679 -0.53002396 -6.407776 -30.368136
    Unten links KachelX 63202 KachelY + 1 77151 -0.11188472 -0.53006532 -6.410522 -30.370506
    Unten rechts KachelX + 1 63203 KachelY + 1 77151 -0.11183679 -0.53006532 -6.407776 -30.370506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53002396--0.53006532) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53002396--0.53006532) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11188472--0.11183679) × cos(-0.53002396) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.862794957688246 × 6371000     		do = 263.464819753379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11188472--0.11183679) × cos(-0.53006532) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.862774047236266 × 6371000     		du = 263.458434495315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53002396)-sin(-0.53006532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862794957688246-0.862774047236266)×R²
    abs(-0.11183679--0.11188472)×2.09104519796055e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.09104519796055e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.09104519796055e-05×40589641000000     		ar = 69423.3401420665m²