Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63201 / 77151
↖ ↑ ↗
← S 30.370506°
W  6.413269°		 ← 263.51 m → S 30.370506°
W  6.410522°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 30.372875°
W  6.413269°		 ← 263.51 m →
69 436 m²		 S 30.372875°
W  6.410522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482189178466797 y=0.588619232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482189178466797 × 217)
    floor (0.482189178466797 × 131072)
    floor (63201.5)     		tx = 63201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588619232177734 × 217)
    floor (0.588619232177734 × 131072)
    floor (77151.5)     		ty = 77151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63201 / 77151 ti = "17/63201/77151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63201/77151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63201 ÷ 217
    63201 ÷ 131072     		x = 0.482185363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77151 ÷ 217
    77151 ÷ 131072     		y = 0.588615417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482185363769531 × 2 - 1) × π
    -0.0356292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11193266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588615417480469 × 2 - 1) × π
    -0.177230834960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.556787089086952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11193266} λ = -0.11193266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556787089086952))-π/2
    2×atan(0.573047259081172)-π/2
    2×0.520365504845221-π/2
    1.04073100969044-1.57079632675     		φ = -0.53006532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11193266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.413269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53006532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.370506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63201 KachelY 77151 -0.11193266 -0.53006532 -6.413269 -30.370506
    Oben rechts KachelX + 1 63202 KachelY 77151 -0.11188472 -0.53006532 -6.410522 -30.370506
    Unten links KachelX 63201 KachelY + 1 77152 -0.11193266 -0.53010668 -6.413269 -30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 63202 KachelY + 1 77152 -0.11188472 -0.53010668 -6.410522 -30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53006532--0.53010668) × R
    4.13600000001013e-05 × 6371000     		dl = 263.504560000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53006532--0.53010668) × R
    4.13600000001013e-05 × 6371000     		dr = 263.504560000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11193266--0.11188472) × cos(-0.53006532) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.862774047236266 × 6371000     		do = 263.513401829988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11193266--0.11188472) × cos(-0.53010668) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 263.507014788939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53006532)-sin(-0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862774047236266-0.862753135308383)×R²
    abs(-0.11188472--0.11193266)×2.09119278836711e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.09119278836711e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.09119278836711e-05×40589641000000     		ar = 69436.1415062832m²