Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63200 / 77152
↖ ↑ ↗
← S 30.372875°
W  6.416016°		 ← 263.51 m → S 30.372875°
W  6.413269°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.375245°
W  6.416016°		 ← 263.50 m →
69 418 m²		 S 30.375245°
W  6.413269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482181549072266 y=0.588626861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482181549072266 × 217)
    floor (0.482181549072266 × 131072)
    floor (63200.5)     		tx = 63200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588626861572266 × 217)
    floor (0.588626861572266 × 131072)
    floor (77152.5)     		ty = 77152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63200 / 77152 ti = "17/63200/77152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63200/77152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63200 ÷ 217
    63200 ÷ 131072     		x = 0.482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77152 ÷ 217
    77152 ÷ 131072     		y = 0.588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556835025986572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11198060} λ = -0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556835025986572))-π/2
    2×atan(0.573019789630641)-π/2
    2×0.520344825739338-π/2
    1.04068965147868-1.57079632675     		φ = -0.53010668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53010668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.372875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63200 KachelY 77152 -0.11198060 -0.53010668 -6.416016 -30.372875
    Oben rechts KachelX + 1 63201 KachelY 77152 -0.11193266 -0.53010668 -6.413269 -30.372875
    Unten links KachelX 63200 KachelY + 1 77153 -0.11198060 -0.53014803 -6.416016 -30.375245
    Unten rechts KachelX + 1 63201 KachelY + 1 77153 -0.11193266 -0.53014803 -6.413269 -30.375245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53010668--0.53014803) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dl = 263.440849999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53010668--0.53014803) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dr = 263.440849999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11198060--0.11193266) × cos(-0.53010668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862753135308383 × 6371000     		do = 263.507014788863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11198060--0.11193266) × cos(-0.53014803) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862732226961242 × 6371000     		du = 263.500628841465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53010668)-sin(-0.53014803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862753135308383-0.862732226961242)×R²
    abs(-0.11193266--0.11198060)×2.09083471413019e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09083471413019e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09083471413019e-05×40589641000000     		ar = 69417.6708070276m²