Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63199 / 77217
↖ ↑ ↗
← S 30.526779°
W  6.418762°		 ← 263.04 m → S 30.526779°
W  6.416016°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 30.529145°
W  6.418762°		 ← 263.03 m →
69 193 m²		 S 30.529145°
W  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482173919677734 y=0.589122772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482173919677734 × 217)
    floor (0.482173919677734 × 131072)
    floor (63199.5)     		tx = 63199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589122772216797 × 217)
    floor (0.589122772216797 × 131072)
    floor (77217.5)     		ty = 77217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63199 / 77217 ti = "17/63199/77217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63199/77217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63199 ÷ 217
    63199 ÷ 131072     		x = 0.482170104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77217 ÷ 217
    77217 ÷ 131072     		y = 0.589118957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482170104980469 × 2 - 1) × π
    -0.0356597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11202853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589118957519531 × 2 - 1) × π
    -0.178237915039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.559950924461876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11202853} λ = -0.11202853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559950924461876))-π/2
    2×atan(0.571237096928868)-π/2
    2×0.519001760025838-π/2
    1.03800352005168-1.57079632675     		φ = -0.53279281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11202853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.418762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53279281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.526779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63199 KachelY 77217 -0.11202853 -0.53279281 -6.418762 -30.526779
    Oben rechts KachelX + 1 63200 KachelY 77217 -0.11198060 -0.53279281 -6.416016 -30.526779
    Unten links KachelX 63199 KachelY + 1 77218 -0.11202853 -0.53283410 -6.418762 -30.529145
    Unten rechts KachelX + 1 63200 KachelY + 1 77218 -0.11198060 -0.53283410 -6.416016 -30.529145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53279281--0.53283410) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53279281--0.53283410) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11202853--0.11198060) × cos(-0.53279281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.861391848925677 × 6371000     		do = 263.036363613407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11202853--0.11198060) × cos(-0.53283410) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.861370875306575 × 6371000     		du = 263.029959066501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53279281)-sin(-0.53283410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861391848925677-0.861370875306575)×R²
    abs(-0.11198060--0.11202853)×2.09736191018051e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09736191018051e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09736191018051e-05×40589641000000     		ar = 69193.1325552345m²