Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63198 / 77567
↖ ↑ ↗
← S 31.351291°
W  6.421509°		 ← 260.83 m → S 31.351291°
W  6.418762°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.353637°
W  6.421509°		 ← 260.83 m →
68 032 m²		 S 31.353637°
W  6.418762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482166290283203 y=0.591793060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482166290283203 × 217)
    floor (0.482166290283203 × 131072)
    floor (63198.5)     		tx = 63198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591793060302734 × 217)
    floor (0.591793060302734 × 131072)
    floor (77567.5)     		ty = 77567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63198 / 77567 ti = "17/63198/77567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63198/77567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63198 ÷ 217
    63198 ÷ 131072     		x = 0.482162475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77567 ÷ 217
    77567 ÷ 131072     		y = 0.591789245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482162475585938 × 2 - 1) × π
    -0.035675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11207647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591789245605469 × 2 - 1) × π
    -0.183578491210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.576728839328896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11207647} λ = -0.11207647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576728839328896))-π/2
    2×atan(0.56173288294499)-π/2
    2×0.51180653349541-π/2
    1.02361306699082-1.57079632675     		φ = -0.54718326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11207647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54718326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.351291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63198 KachelY 77567 -0.11207647 -0.54718326 -6.421509 -31.351291
    Oben rechts KachelX + 1 63199 KachelY 77567 -0.11202853 -0.54718326 -6.418762 -31.351291
    Unten links KachelX 63198 KachelY + 1 77568 -0.11207647 -0.54722420 -6.421509 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 63199 KachelY + 1 77568 -0.11202853 -0.54722420 -6.418762 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54718326--0.54722420) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dl = 260.828740000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54718326--0.54722420) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dr = 260.828740000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11207647--0.11202853) × cos(-0.54718326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.853993412165011 × 6371000     		do = 260.831569865604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11207647--0.11202853) × cos(-0.54722420) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 260.825063950618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54718326)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853993412165011-0.853972111029799)×R²
    abs(-0.11202853--0.11207647)×2.13011352129255e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13011352129255e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13011352129255e-05×40589641000000     		ar = 68031.5212651709m²