Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63195 / 77531
↖ ↑ ↗
← S 31.266813°
W  6.429748°		 ← 261.01 m → S 31.266813°
W  6.427002°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
S 31.269161°
W  6.429748°		 ← 261 m →
68 128 m²		 S 31.269161°
W  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482143402099609 y=0.591518402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482143402099609 × 217)
    floor (0.482143402099609 × 131072)
    floor (63195.5)     		tx = 63195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591518402099609 × 217)
    floor (0.591518402099609 × 131072)
    floor (77531.5)     		ty = 77531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63195 / 77531 ti = "17/63195/77531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63195/77531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63195 ÷ 217
    63195 ÷ 131072     		x = 0.482139587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77531 ÷ 217
    77531 ÷ 131072     		y = 0.591514587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482139587402344 × 2 - 1) × π
    -0.0357208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11222028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591514587402344 × 2 - 1) × π
    -0.183029174804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.575003110942574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11222028} λ = -0.11222028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575003110942574))-π/2
    2×atan(0.562703118267146)-π/2
    2×0.512543744474876-π/2
    1.02508748894975-1.57079632675     		φ = -0.54570884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11222028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.429748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54570884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.266813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63195 KachelY 77531 -0.11222028 -0.54570884 -6.429748 -31.266813
    Oben rechts KachelX + 1 63196 KachelY 77531 -0.11217235 -0.54570884 -6.427002 -31.266813
    Unten links KachelX 63195 KachelY + 1 77532 -0.11222028 -0.54574981 -6.429748 -31.269161
    Unten rechts KachelX + 1 63196 KachelY + 1 77532 -0.11217235 -0.54574981 -6.427002 -31.269161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54570884--0.54574981) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54570884--0.54574981) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11222028--0.11217235) × cos(-0.54570884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.854759600500914 × 6371000     		do = 261.011126770957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11222028--0.11217235) × cos(-0.54574981) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.854738335365814 × 6371000     		du = 261.004633206134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54570884)-sin(-0.54574981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854759600500914-0.854738335365814)×R²
    abs(-0.11217235--0.11222028)×2.12651350995907e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12651350995907e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12651350995907e-05×40589641000000     		ar = 68128.2429132292m²