Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6319 / 6125
↖ ↑ ↗
← S 66.178266°
E 97.690430°		 ← 1 973.62 m → S 66.178266°
E 97.734375°		 →
↑
1 972.97 m
↓
↑
1 972.97 m
↓
S 66.196009°
E 97.690430°		 ← 1 972.23 m →
3 892 524 m²		 S 66.196009°
E 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77142333984375 y=0.74774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77142333984375 × 213)
    floor (0.77142333984375 × 8192)
    floor (6319.5)     		tx = 6319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74774169921875 × 213)
    floor (0.74774169921875 × 8192)
    floor (6125.5)     		ty = 6125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6319 / 6125 ti = "13/6319/6125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6319/6125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6319 ÷ 213
    6319 ÷ 8192     		x = 0.7713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6125 ÷ 213
    6125 ÷ 8192     		y = 0.7476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7713623046875 × 2 - 1) × π
    0.542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70501965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5562235092655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70501965} λ = 1.70501965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5562235092655))-π/2
    2×atan(0.210931148482691)-π/2
    2×0.207883846246669-π/2
    0.415767692493339-1.57079632675     		φ = -1.15502863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70501965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15502863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.178266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6319 KachelY 6125 1.70501965 -1.15502863 97.690430 -66.178266
    Oben rechts KachelX + 1 6320 KachelY 6125 1.70578664 -1.15502863 97.734375 -66.178266
    Unten links KachelX 6319 KachelY + 1 6126 1.70501965 -1.15533831 97.690430 -66.196009
    Unten rechts KachelX + 1 6320 KachelY + 1 6126 1.70578664 -1.15533831 97.734375 -66.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15502863--1.15533831) × R
    0.000309680000000201 × 6371000     		dl = 1972.97128000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15502863--1.15533831) × R
    0.000309680000000201 × 6371000     		dr = 1972.97128000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70501965-1.70578664) × cos(-1.15502863) × R
    0.000766989999999801 × 0.403892343371147 × 6371000     		do = 1973.61722576497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70501965-1.70578664) × cos(-1.15533831) × R
    0.000766989999999801 × 0.403609026724576 × 6371000     		du = 1972.23280087256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15502863)-sin(-1.15533831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403892343371147-0.403609026724576)×R²
    abs(1.70578664-1.70501965)×0.000283316646571108×R²
    0.000766989999999801×0.000283316646571108×6371000²
    0.000766989999999801×0.000283316646571108×40589641000000     		ar = 3892524.41998303m²