Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63177 / 77355
↖ ↑ ↗
← S 30.852721°
W  6.479187°		 ← 262.20 m → S 30.852721°
W  6.476440°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.855079°
W  6.479187°		 ← 262.20 m →
68 740 m²		 S 30.855079°
W  6.476440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482006072998047 y=0.590175628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482006072998047 × 217)
    floor (0.482006072998047 × 131072)
    floor (63177.5)     		tx = 63177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590175628662109 × 217)
    floor (0.590175628662109 × 131072)
    floor (77355.5)     		ty = 77355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63177 / 77355 ti = "17/63177/77355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63177/77355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63177 ÷ 217
    63177 ÷ 131072     		x = 0.482002258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77355 ÷ 217
    77355 ÷ 131072     		y = 0.590171813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482002258300781 × 2 - 1) × π
    -0.0359954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11308315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590171813964844 × 2 - 1) × π
    -0.180343627929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.566566216609444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11308315} λ = -0.11308315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566566216609444))-π/2
    2×atan(0.567470668395262)-π/2
    2×0.516157377526149-π/2
    1.0323147550523-1.57079632675     		φ = -0.53848157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11308315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.479187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53848157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.852721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63177 KachelY 77355 -0.11308315 -0.53848157 -6.479187 -30.852721
    Oben rechts KachelX + 1 63178 KachelY 77355 -0.11303521 -0.53848157 -6.476440 -30.852721
    Unten links KachelX 63177 KachelY + 1 77356 -0.11308315 -0.53852272 -6.479187 -30.855079
    Unten rechts KachelX + 1 63178 KachelY + 1 77356 -0.11303521 -0.53852272 -6.476440 -30.855079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53848157--0.53852272) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dl = 262.166650000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53848157--0.53852272) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dr = 262.166650000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11308315--0.11303521) × cos(-0.53848157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858488371798537 × 6371000     		do = 262.204446237943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11308315--0.11303521) × cos(-0.53852272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858467267992557 × 6371000     		du = 262.198000592385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53848157)-sin(-0.53852272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858488371798537-0.858467267992557)×R²
    abs(-0.11303521--0.11308315)×2.11038059803048e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11038059803048e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11038059803048e-05×40589641000000     		ar = 68740.4163784837m²