Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63174 / 27098
↖ ↑ ↗
← N 71.997672°
W  6.487427°		 ← 94.39 m → N 71.997672°
W  6.484680°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.996823°
W  6.487427°		 ← 94.40 m →
8 913 m²		 N 71.996823°
W  6.484680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481983184814453 y=0.206745147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481983184814453 × 217)
    floor (0.481983184814453 × 131072)
    floor (63174.5)     		tx = 63174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206745147705078 × 217)
    floor (0.206745147705078 × 131072)
    floor (27098.5)     		ty = 27098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63174 / 27098 ti = "17/63174/27098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63174/27098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63174 ÷ 217
    63174 ÷ 131072     		x = 0.481979370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27098 ÷ 217
    27098 ÷ 131072     		y = 0.206741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481979370117188 × 2 - 1) × π
    -0.036041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11322696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206741333007812 × 2 - 1) × π
    0.586517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84259854759572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11322696} λ = -0.11322696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84259854759572))-π/2
    2×atan(6.31292139234059)-π/2
    2×1.41369637697004-π/2
    2.82739275394008-1.57079632675     		φ = 1.25659643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11322696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.487427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25659643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.997672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63174 KachelY 27098 -0.11322696 1.25659643 -6.487427 71.997672
    Oben rechts KachelX + 1 63175 KachelY 27098 -0.11317902 1.25659643 -6.484680 71.997672
    Unten links KachelX 63174 KachelY + 1 27099 -0.11322696 1.25658161 -6.487427 71.996823
    Unten rechts KachelX + 1 63175 KachelY + 1 27099 -0.11317902 1.25658161 -6.484680 71.996823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25659643-1.25658161) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25659643-1.25658161) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11322696--0.11317902) × cos(1.25659643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.309055636911752 × 6371000     		do = 94.3935466049359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11322696--0.11317902) × cos(1.25658161) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.309069731349295 × 6371000     		du = 94.3978514089524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25659643)-sin(1.25658161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309055636911752-0.309069731349295)×R²
    abs(-0.11317902--0.11322696)×1.40944375430774e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.40944375430774e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.40944375430774e-05×40589641000000     		ar = 8912.67387622409m²