Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63173 / 76678
↖ ↑ ↗
← S 29.243270°
W  6.490173°		 ← 266.44 m → S 29.243270°
W  6.487427°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.245667°
W  6.490173°		 ← 266.44 m →
71 006 m²		 S 29.245667°
W  6.487427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481975555419922 y=0.585010528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481975555419922 × 217)
    floor (0.481975555419922 × 131072)
    floor (63173.5)     		tx = 63173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585010528564453 × 217)
    floor (0.585010528564453 × 131072)
    floor (76678.5)     		ty = 76678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63173 / 76678 ti = "17/63173/76678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63173/76678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63173 ÷ 217
    63173 ÷ 131072     		x = 0.481971740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76678 ÷ 217
    76678 ÷ 131072     		y = 0.585006713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481971740722656 × 2 - 1) × π
    -0.0360565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11327489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585006713867188 × 2 - 1) × π
    -0.170013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.534112935566666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11327489} λ = -0.11327489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534112935566666))-π/2
    2×atan(0.586189047036621)-π/2
    2×0.530202488211053-π/2
    1.06040497642211-1.57079632675     		φ = -0.51039135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11327489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.490173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51039135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.243270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63173 KachelY 76678 -0.11327489 -0.51039135 -6.490173 -29.243270
    Oben rechts KachelX + 1 63174 KachelY 76678 -0.11322696 -0.51039135 -6.487427 -29.243270
    Unten links KachelX 63173 KachelY + 1 76679 -0.11327489 -0.51043318 -6.490173 -29.245667
    Unten rechts KachelX + 1 63174 KachelY + 1 76679 -0.11322696 -0.51043318 -6.487427 -29.245667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51039135--0.51043318) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51039135--0.51043318) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11327489--0.11322696) × cos(-0.51039135) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		do = 266.444675263777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11327489--0.11322696) × cos(-0.51043318) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872532957149528 × 6371000     		du = 266.438435037092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51039135)-sin(-0.51043318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872553392652546-0.872532957149528)×R²
    abs(-0.11322696--0.11327489)×2.04355030181125e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04355030181125e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04355030181125e-05×40589641000000     		ar = 71006.3893655125m²