Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63166 / 77678
↖ ↑ ↗
← S 31.611288°
W  6.509399°		 ← 260.05 m → S 31.611288°
W  6.506653°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 31.613627°
W  6.509399°		 ← 260.05 m →
67 630 m²		 S 31.613627°
W  6.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481922149658203 y=0.592639923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481922149658203 × 217)
    floor (0.481922149658203 × 131072)
    floor (63166.5)     		tx = 63166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592639923095703 × 217)
    floor (0.592639923095703 × 131072)
    floor (77678.5)     		ty = 77678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63166 / 77678 ti = "17/63166/77678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63166/77678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63166 ÷ 217
    63166 ÷ 131072     		x = 0.481918334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77678 ÷ 217
    77678 ÷ 131072     		y = 0.592636108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481918334960938 × 2 - 1) × π
    -0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592636108398438 × 2 - 1) × π
    -0.185272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582049835186722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11361045} λ = -0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582049835186722))-π/2
    2×atan(0.55875184268658)-π/2
    2×0.509537635682963-π/2
    1.01907527136593-1.57079632675     		φ = -0.55172106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55172106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.611288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63166 KachelY 77678 -0.11361045 -0.55172106 -6.509399 -31.611288
    Oben rechts KachelX + 1 63167 KachelY 77678 -0.11356252 -0.55172106 -6.506653 -31.611288
    Unten links KachelX 63166 KachelY + 1 77679 -0.11361045 -0.55176188 -6.509399 -31.613627
    Unten rechts KachelX + 1 63167 KachelY + 1 77679 -0.11356252 -0.55176188 -6.506653 -31.613627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55172106--0.55176188) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55172106--0.55176188) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11361045--0.11356252) × cos(-0.55172106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.851623683812617 × 6371000     		do = 260.053536885107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11361045--0.11356252) × cos(-0.55176188) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.851602287149073 × 6371000     		du = 260.047003156492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55172106)-sin(-0.55176188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851623683812617-0.851602287149073)×R²
    abs(-0.11356252--0.11361045)×2.1396663544504e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1396663544504e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1396663544504e-05×40589641000000     		ar = 67629.7706433567m²