Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63165 / 77676
↖ ↑ ↗
← S 31.606609°
W  6.512146°		 ← 260.12 m → S 31.606609°
W  6.509399°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 31.608949°
W  6.512146°		 ← 260.11 m →
67 664 m²		 S 31.608949°
W  6.509399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481914520263672 y=0.592624664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481914520263672 × 217)
    floor (0.481914520263672 × 131072)
    floor (63165.5)     		tx = 63165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592624664306641 × 217)
    floor (0.592624664306641 × 131072)
    floor (77676.5)     		ty = 77676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63165 / 77676 ti = "17/63165/77676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63165/77676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63165 ÷ 217
    63165 ÷ 131072     		x = 0.481910705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77676 ÷ 217
    77676 ÷ 131072     		y = 0.592620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481910705566406 × 2 - 1) × π
    -0.0361785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11365839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.18524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.581953961387482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11365839} λ = -0.11365839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581953961387482))-π/2
    2×atan(0.558805414916617)-π/2
    2×0.509578460907856-π/2
    1.01915692181571-1.57079632675     		φ = -0.55163940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11365839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.512146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55163940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.606609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63165 KachelY 77676 -0.11365839 -0.55163940 -6.512146 -31.606609
    Oben rechts KachelX + 1 63166 KachelY 77676 -0.11361045 -0.55163940 -6.509399 -31.606609
    Unten links KachelX 63165 KachelY + 1 77677 -0.11365839 -0.55168023 -6.512146 -31.608949
    Unten rechts KachelX + 1 63166 KachelY + 1 77677 -0.11361045 -0.55168023 -6.509399 -31.608949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55163940--0.55168023) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55163940--0.55168023) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11365839--0.11361045) × cos(-0.55163940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851666483364243 × 6371000     		do = 260.120865914702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11365839--0.11361045) × cos(-0.55168023) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851645084298314 × 6371000     		du = 260.114330089155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55163940)-sin(-0.55168023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851666483364243-0.851645084298314)×R²
    abs(-0.11361045--0.11365839)×2.13990659286845e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13990659286845e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13990659286845e-05×40589641000000     		ar = 67663.8523342723m²