Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63160 / 30200
↖ ↑ ↗
← N 69.170373°
W  6.525879°		 ← 108.58 m → N 69.170373°
W  6.523133°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 69.169396°
W  6.525879°		 ← 108.59 m →
11 795 m²		 N 69.169396°
W  6.523133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481876373291016 y=0.230411529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481876373291016 × 217)
    floor (0.481876373291016 × 131072)
    floor (63160.5)     		tx = 63160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230411529541016 × 217)
    floor (0.230411529541016 × 131072)
    floor (30200.5)     		ty = 30200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63160 / 30200 ti = "17/63160/30200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63160/30200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63160 ÷ 217
    63160 ÷ 131072     		x = 0.48187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30200 ÷ 217
    30200 ÷ 131072     		y = 0.23040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11389807} λ = -0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6938982849743))-π/2
    2×atan(5.44064861780377)-π/2
    2×1.3890235364964-π/2
    2.7780470729928-1.57079632675     		φ = 1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63160 KachelY 30200 -0.11389807 1.20725075 -6.525879 69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 63161 KachelY 30200 -0.11385014 1.20725075 -6.523133 69.170373
    Unten links KachelX 63160 KachelY + 1 30201 -0.11389807 1.20723370 -6.525879 69.169396
    Unten rechts KachelX + 1 63161 KachelY + 1 30201 -0.11385014 1.20723370 -6.523133 69.169396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20725075-1.20723370) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20725075-1.20723370) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11389807--0.11385014) × cos(1.20725075) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 108.583777732917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11389807--0.11385014) × cos(1.20723370) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.355606241738698 × 6371000     		du = 108.588643858003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20725075)-sin(1.20723370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355606241738698)×R²
    abs(-0.11385014--0.11389807)×1.59355931916849e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.59355931916849e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.59355931916849e-05×40589641000000     		ar = 11795.2368704926m²