Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63158 / 77446
↖ ↑ ↗
← S 31.067050°
W  6.531372°		 ← 261.62 m → S 31.067050°
W  6.528625°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.069404°
W  6.531372°		 ← 261.61 m →
68 453 m²		 S 31.069404°
W  6.528625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481861114501953 y=0.590869903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481861114501953 × 217)
    floor (0.481861114501953 × 131072)
    floor (63158.5)     		tx = 63158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590869903564453 × 217)
    floor (0.590869903564453 × 131072)
    floor (77446.5)     		ty = 77446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63158 / 77446 ti = "17/63158/77446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63158/77446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63158 ÷ 217
    63158 ÷ 131072     		x = 0.481857299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77446 ÷ 217
    77446 ÷ 131072     		y = 0.590866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481857299804688 × 2 - 1) × π
    -0.036285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11399395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.181732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.570928474474869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11399395} λ = -0.11399395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570928474474869))-π/2
    2×atan(0.565000606449193)-π/2
    2×0.514287000970437-π/2
    1.02857400194087-1.57079632675     		φ = -0.54222232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11399395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54222232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.067050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63158 KachelY 77446 -0.11399395 -0.54222232 -6.531372 -31.067050
    Oben rechts KachelX + 1 63159 KachelY 77446 -0.11394601 -0.54222232 -6.528625 -31.067050
    Unten links KachelX 63158 KachelY + 1 77447 -0.11399395 -0.54226339 -6.531372 -31.069404
    Unten rechts KachelX + 1 63159 KachelY + 1 77447 -0.11394601 -0.54226339 -6.528625 -31.069404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54222232--0.54226339) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54222232--0.54226339) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11399395--0.11394601) × cos(-0.54222232) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856563989622615 × 6371000     		do = 261.616690387819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11399395--0.11394601) × cos(-0.54226339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856542795103591 × 6371000     		du = 261.610217036162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54222232)-sin(-0.54226339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856563989622615-0.856542795103591)×R²
    abs(-0.11394601--0.11399395)×2.11945190241591e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11945190241591e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11945190241591e-05×40589641000000     		ar = 68452.9836191705m²